Para todo $n$ natural, una $n$ - escalera es una figura que consta de cuadrados unitarios, con un cuadrado en la primera fila, dos cuadrados en la segunda fila, y así sucesivamente, hasta $n$ cuadrados en la $n^{th}$ fila, de modo que todos los cuadrados del extremo izquierdo en cada fila están alineados verticalmente. Sea $f(n)$ denota el número mínimo de baldosas cuadradas necesarias para pavimentar la $n$ - escalera, donde las longitudes de los lados de las baldosas cuadradas pueden ser cualquier número natural. por ejemplo, $f(2)=3$ y $f(4)=7$ . (a) Encuentra todos los $n$ tales que $f(n)=n$ . (b) Encuentra todos los $n$ tales que $f(n) = n+1$ .

Esboce la gráfica de $x^3 + xy + y^3 = 3$.

Eva y Odette juegan un juego en un tablero de ajedrez de $3\times 3$, con damas negras y damas blancas. Las reglas son las siguientes: $\text{I.}$ Juegan alternativamente. $\text{II.}$ Un turno consiste en colocar una dama en un cuadrado desocupado del tablero. $\text{III.}$ En su turno, una jugadora puede seleccionar una dama blanca o una dama negra y no siempre tiene que usar el mismo color. $\text{IV.}$ Cuando el tablero está lleno, Eva obtiene un punto por cada fila, columna o diagonal que tenga un número par de damas negras, y Odette obtiene un punto por cada fila, columna o diagonal que tenga un número impar de damas negras. $\text{V.}$ La jugadora que obtenga al menos cinco de los ocho puntos GANA.

Los lados $AD$ y $BC$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ se extienden hasta encontrarse en $E$. Sean $H$ y $G$ los puntos medios de $BD$ y $AC$, respectivamente. Encuentre la razón del área del triángulo $EHG$ a la del cuadrilátero $ABCD$.

Determine el número real más grande $z$ tal que $x + y + z = 5$ $xy + yz + xz = 3$ y $x$, $y$ también son reales.

Encuentra todos los pares de $a$, $b$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $2a^2 = 3b^3$.

Sea $n$ un entero. Si el dígito de las decenas de $n^2$ es 7, ¿cuál es el dígito de las unidades de $n^2$?

Dados $7$ números reales cualesquiera, demuestra que hay dos de ellos $x,y$ tales que $0\le\frac{x-y}{1+xy}\le\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Un triángulo acutángulo tiene área unitaria. Demuestra que hay un punto dentro del triángulo cuya distancia a cada uno de los vértices es al menos $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$ .

Un entero es digitalmente divisible si se cumplen las dos condiciones siguientes:\n$(a)$ Ninguno de sus dígitos es cero;\n$(b)$ Es divisible por la suma de sus dígitos, por ejemplo, $322$ es digitalmente divisible.\n\nDemuestra que hay infinitos enteros digitalmente divisibles.