Sea $ A$ un anillo unitario finito con $ n$ elementos, tal que la ecuación $ x^n=1$ tiene una única solución en $ A$, $ x=1$. Demostrar que a) $ 0$ es el único elemento nilpotente de $ A$; b) existe un entero $ k\geq 2$, tal que la ecuación $ x^k=x$ tiene $ n$ soluciones en $ A$.

Sea $ f: [0,1]\to\mathbb R$ una función derivable, con una derivada continua $ f'$ en $ [0,1]$. Demostrar que si $ f\left( \frac 12\right) = 0$, entonces \[ \int^1_0 \left( f'(x) \right)^2 dx \geq 12 \left( \int^1_0 f(x) dx \right)^2.\]

Sea $ a>0$ y $ f: [0,\infty) \to [0,a]$ una función continua en $ (0,\infty)$ y que tiene la propiedad de Darboux en $ [0,\infty)$. Demostrar que si $ f(0)=0$ y para todo $ x$ no negativo tenemos \[ xf(x) \geq \int^x_0 f(t) dt ,\] entonces $ f$ admite primitivas en $ [0,\infty)$.

Sea $ A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ una matriz real $ n\times n$, tal que $ a_{ij} + a_{ji} = 0$, para todo $ i,j$. Demostrar que para todo número real no negativo $ x,y$ tenemos \[ \det(A+xI_n)\cdot \det(A+yI_n) \geq \det (A+\sqrt{xy}I_n)^2.\]

Sea $ f: \mathbb R \to \mathbb R$ una función, dos veces derivable en $ \mathbb R$ para la cual existe $ c\in\mathbb R$ tal que \[ \frac { f(b)-f(a) }{b-a} \neq f'(c) ,\] para todo $ a\neq b \in \mathbb R$. Demostrar que $ f''(c)=0$.

Sea $ A$ una matriz $ n\times n$ con elementos complejos. Demostrar que $ A^{-1} = \overline{A}$ si y sólo si existe una matriz invertible $ B$ con elementos complejos tal que $ A= B^{-1} \cdot \overline{B}$.

Sea $ f : (0,\infty) \to \mathbb R$ una función continua tal que las sucesiones $ \{f(nx)\}_{n\geq 1}$ son no decrecientes para cualquier número real $ x$. Demostrar que $ f$ es no decreciente.

Consideramos la proposición $ p(n)$: $ n^2+1$ divide a $ n!$, para enteros positivos $ n$. Demostrar que hay infinitos valores de $ n$ para los cuales $ p(n)$ es verdadera, e infinitos valores de $ n$ para los cuales $ p(n)$ es falsa.

Sea $ A=\{1,2,\ldots, 2008\}$. Diremos que el conjunto $ X$ es un conjunto $ r$ si $ \emptyset \neq X \subset A$ , y $ \sum_{x\in X} x \equiv r \pmod 3$. Sea $ X_r$ , $ r\in\{0,1,2\}$ el conjunto de conjuntos $ r$. Hallar cuál de $ X_r$ tiene más elementos.

Sean $ a,b,c$ 3 números complejos tales que \[ a|bc| + b|ca| + c|ab| = 0.\] Demostrar que \[ |(a-b)(b-c)(c-a)| \geq 3\sqrt 3 |abc|.\]