Sea $ ABC$ un triángulo y los puntos $ D\in (BC)$ , $ E\in (CA)$ , $ F\in (AB)$ tales que \[ \frac {BD}{DC} = \frac {CE}{EA} = \frac {AF}{FB}.\] Demostrar que si los circuncentros de los triángulos $ DEF$ y $ ABC$ coinciden entonces $ ABC$ es equilátero.

En los lados del triángulo $ ABC$ consideramos puntos $ C_1,C_2 \in (AB), B_1,B_2 \in (AC), A_1,A_2 \in (BC)$ tales que los triángulos $ A_1,B_1,C_1$ y $ A_2B_2C_2$ tienen un centroide común. Demostrar que los conjuntos $ [A_1,B_1]\cap [A_2B_2], [B_1C_1]\cap[B_2C_2], [C_1A_1]\cap [C_2A_2]$ no están vacíos.

Sea $ n$ un entero positivo y sean $ a_i$ números reales, $ i = 1,2,\ldots,n$ tales que $ |a_i|\leq 1$ y $ \sum_{i=1}^n a_i = 0$. Demostrar que $ \sum_{i=1}^n |x - a_i|\leq n$, para cada $ x\in \mathbb{R}$ con $ |x|\le 1$.

a) Demostrar que \[ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{2^{2n}} > n, \] para todos los enteros positivos $ n$.\nb) Demostrar que para cada entero positivo $ n$ tenemos $ \min\left\{ k \in \mathbb{Z}, k\geq 2 \mid \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{k}>n \right\} > 2^n$.

Hallar funciones $ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, tales que $ f(x^2 + f(y)) = xf(x) + y$, para $ x,y \in \mathbb{N}$.

Sea $ ABCDA'B'C'D'$ un cubo. En los lados $ (A'D')$ , $ (A'B')$ y $ (A'A)$ consideramos los puntos $ M_1$ , $ N_1$ y $ P_1$ respectivamente. En los lados $ (CB)$ , $ (CD)$ y $ (CC')$ consideramos los puntos $ M_2$ , $ N_2$ y $ P_2$ respectivamente. Sea $ d_1$ la distancia entre las líneas $ M_1N_1$ y $ M_2N_2$ , $ d_2$ la distancia entre las líneas $ N_1P_1$ y $ N_2P_2$ , y $ d_3$ la distancia entre las líneas $ P_1M_1$ y $ P_2M_2$. Supongamos que las distancias $ d_1$ , $ d_2$ y $ d_3$ son distintas dos a dos. Demostrar que las líneas $ M_1M_2$ , $ N_1N_2$ y $ P_1P_2$ son concurrentes.

Sean $ a,b \in [0,1]$. Demostrar que \[ \frac 1{1+a+b} \leq 1 - \frac {a+b}2 + \frac {ab}3.\]

a) Llamamos secuencia admisible a una secuencia de 4 dígitos pares en la que ningún dígito aparece más de dos veces. Hallar el número de secuencias admisibles.\nb) Para cada entero $ n\geq 2$ denotamos $ d_n$ el número de posibilidades de completar con dígitos pares un array con $ n$ filas y 4 columnas, tal que (1) cualquier fila es una secuencia admisible; (2) la secuencia 2, 0, 0, 8 aparece exactamente una vez en el array. Hallar los valores de $ n$ para los cuales el número $ \frac {d_{n+1}}{d_n}$ es un entero.

Un tetraedro tiene las longitudes de los lados enteros positivos, tales que el producto de dos lados opuestos cualesquiera es igual a 6. Demostrar que el tetraedro es una pirámide triangular regular en la que los lados laterales forman un ángulo de al menos 30 grados con el plano de la base.

Sea $ ABCD$ un rectángulo con centro $ O$, $ AB\neq BC$. La perpendicular desde $ O$ a $ BD$ corta las líneas $ AB$ y $ BC$ en $ E$ y $ F$ respectivamente. Sean $ M,N$ los puntos medios de los segmentos $ CD,AD$ respectivamente. Demostrar que $ FM \perp EN$.