Determine el número de soluciones reales $a$ a la ecuación: \[ \left[\,\frac{1}{2}\;a\,\right]+\left[\,\frac{1}{3}\;a\,\right]+\left[\,\frac{1}{5}\;a\,\right] = a. \] Aquí, si $x$ es un número real, entonces $[\,x\,]$ denota el entero más grande que es menor o igual a $x$.

Sea la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC$ tangente a los lados $ BC,\, CA$ y $ AB$ en $ D,\, E$ y $ F,$ respectivamente. Sean $ \omega,\,\omega_{1},\,\omega_{2}$ y $ \omega_{3}$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $ ABC,\, AEF,\, BDF$ y $ CDE$ respectivamente. Sean $ \omega$ y $ \omega_{1}$ que se intersectan en $ A$ y $ P,\,\omega$ y $ \omega_{2}$ que se intersectan en $ B$ y $ Q,\,\omega$ y $ \omega_{3}$ que se intersectan en $ C$ y $ R.$ $ a.$ Demuestre que $ \omega_{1},\,\omega_{2}$ y $ \omega_{3}$ se intersectan en un punto común. $ b.$ Demuestre que $ PD,\, QE$ y $ RF$ son concurrentes.

Para dos números reales $ a$ , $ b$ , con $ ab\neq 1$ , defina la operación $ \ast$ por \[ a\ast b=\frac{a+b-2ab}{1-ab}.\] Comience con una lista de $ n\geq 2$ números reales cuyas entradas $ x$ satisfagan $ 0<x<1$ . Seleccione dos números cualesquiera $ a$ y $ b$ en la lista; retírelos y coloque el número $ a\ast b$ al final de la lista, reduciendo así su longitud en uno. Repita este procedimiento hasta que quede un solo número. $ a.$ Demuestre que este único número es el mismo independientemente de la elección del par en cada etapa. $ b.$ Suponga que la condición sobre los números $ x$ se debilita a $ 0<x\leq 1$ . ¿Qué sucede si la lista contiene exactamente un $ 1$ ?

Suponga que $ f$ es una función con valores reales para la cual \[ f(xy)+f(y-x)\geq f(y+x)\] para todos los números reales $ x$ e $ y$ . a) Dé un polinomio no constante que satisfaga la condición. b) Demuestre que $ f(x)\geq 0$ para todo $ x$ real.

Se le da un par de triángulos para los cuales dos lados de un triángulo son iguales en longitud a dos lados del segundo triángulo, y los triángulos son similares, pero no necesariamente congruentes. Demuestre que la razón de los lados que corresponden bajo la similitud es un número entre $ \frac {1}{2}(\sqrt {5} - 1)$ y $ \frac {1}{2}(\sqrt {5} + 1)$ .

¿Cuál es el número máximo de dominós de $2 \times 1$ no superpuestos que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $8 \times 9$ si seis de ellos se colocan como se muestra? Cada dominó debe colocarse horizontal o verticalmente para cubrir dos cuadrados adyacentes del tablero.

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios con coeficientes enteros. Sea $a_n = n! +n$ . Demuestra que si $\frac{P(a_n)}{Q(a_n)}$ es un entero para cada $n$ , entonces $\frac{P(n)}{Q(n)}$ es un entero para cada entero $n$ tal que $Q(n)\neq 0$ .

Cada vértice de un grafo finito puede colorearse de negro o blanco. Inicialmente todos los vértices son negros. Se nos permite elegir un vértice $P$ y cambiar el color de $P$ y todos sus vecinos. ¿Es posible cambiar el color de cada vértice de negro a blanco mediante una secuencia de operaciones de este tipo? Nota: Un grafo finito consta de un conjunto finito de vértices y un conjunto finito de aristas entre vértices. Si hay una arista entre el vértice $A$ y el vértice $B,$ entonces $A$ y $B$ son vecinos entre sí.

Tres patinadores de velocidad tienen una 'carrera' amistosa en un óvalo de patinaje. Todos comienzan desde el mismo punto y patinan en la misma dirección, pero con diferentes velocidades que mantienen durante toda la carrera. El patinador más lento da $1$ vuelta por minuto, el más rápido da $3.14$ vueltas por minuto, y el del medio da $L$ vueltas por minuto para algún $1 < L < 3.14$ . La carrera termina en el momento en que los tres patinadores se juntan nuevamente en el mismo punto en el óvalo (que puede diferir del punto de partida). Determine el número de opciones diferentes para $L$ tales que ocurran exactamente $117$ pasadas antes del final de la carrera. Nota: Una pasada se define como cuando un patinador pasa a otro. El comienzo y el final de la carrera cuando los tres patinadores están juntos no se cuentan como pasadas.

Sean $A,B,P$ tres puntos en un círculo. Demuestra que si $a,b$ son las distancias desde $P$ a las tangentes en $A,B$ respectivamente, y $c$ es la distancia desde $P$ a la cuerda $AB$ , entonces $c^2 =ab$ .