Calcula el determinante de la matriz compleja $ n\times n $ $ \left(a_j^i\right)_{1\le j\le n}^{1\le i\le n} $ definida por $$ a_j^i=\left\{\begin{matrix} 1+x^2,\quad i=j\\x,\quad |i-j|=1\\0,\quad |i-j|\ge 2\end{matrix}\right. , $$ donde $ n $ es un número natural mayor que $ 2. $

Resuelve en el conjunto de las matrices enteras de $ 2\times 2 $ la ecuación $$ X^2-4\cdot X+4\cdot\left(\begin{matrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}7\quad 8\\12\quad 31\end{matrix}\right) . $$

Considera la pirámide $ VABCD, $ donde $ V $ es la cima y $ ABCD $ es una base rectangular. Si $ \angle BVD = \angle AVC, $ entonces prueba que los triángulos $ VAC $ y $ VBD $ comparten el mismo perímetro y área.

Sea $ \alpha $ un plano y sea $ ABC $ un triángulo equilátero situado en un plano paralelo cuya distancia desde $ \alpha $ es $ h. $ Encuentra el lugar geométrico de los puntos $ M\in\alpha $ para los cuales $$ \left|MA\right| ^2 +h^2 = \left|MB\right|^2 +\left|MC\right|^2. $$

Sean $ z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C} $ tales que $\text{(i)}\quad \left|z_1\right| = \left|z_2\right| = \left|z_3\right| = 1$ $\text{(ii)}\quad z_1+z_2+z_3\neq 0 $ $\text{(iii)}\quad z_1^2 +z_2^2+z_3^2 =0. $ Demuestra que $ \left| z_1^3+z_2^3+z_3^3\right| = 1. $

Resuelve el sistema $$ \left\{\begin{matrix} 3^y-4^x=11\\ \log_4{x} +\log_3 y =3/2\end{matrix}\right. $$\nResuelve la ecuación $ \quad 9^{\log_5 (x-2)} -5^{\log_9 (x+2)} = 4. $

Sea un círculo centrado en $ O, $ y $ A,B,C, $ puntos situados en este círculo. Demuestra que si $$ \left|\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC}\right| = \left|\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OA}\right| , $$ entonces $ A=B=C, $ o $ ABC $ es un triángulo equilátero.

Sean $ a,b $ dos enteros no negativos tales que $ a^2>b. $ Demuestra que la ecuación $$ \left\lfloor\sqrt{x^2+2ax+b}\right\rfloor =x+a-1 $$ tiene un número infinito de soluciones en los enteros no negativos. Aquí, $ \lfloor\alpha\rfloor $ denota la parte entera de $ \alpha. $\nEncuentra la parte entera de $ m=\sqrt{2+\sqrt{2+\underbrace{\cdots}_{\text{n veces}}+\sqrt{2}}} , $ donde $ n $ es un número natural. Justifica.

Demuestra que $ \frac{n}{2}\ge \frac{2\sqrt{x} +3\sqrt[3]{x}+\cdots +n\sqrt[n]{x}}{n-1} -x, $ para todos los reales no negativos $ x $ y los enteros $ n\ge 2. $\nSi $ x,y,z\in (0,\infty ) , $ entonces prueba la desigualdad $$ \sum_{\text{cyc}} \frac{x}{(2x+y+z)^2+4} \le 3/16 $$

Sea $ \mathcal G$ el conjunto de todos los grupos finitos con al menos dos elementos.\na) Demostrar que si $ G\in \mathcal G$, entonces el número de morfismos $ f: G\to G$ es a lo sumo $ \sqrt [p]{n^n}$, donde $ p$ es el mayor divisor primo de $ n$, y $ n$ es el número de elementos en $ G$.\nb) Hallar todos los grupos en $ \mathcal G$ para los cuales la desigualdad en el punto a) es una igualdad.