Sea $S$ un conjunto de $n$ puntos en el plano tal que dos puntos cualesquiera de $S$ están al menos a $1$ unidad de distancia. Demuestra que existe un subconjunto $T$ de $S$ con al menos $\frac{n}{7}$ puntos tal que dos puntos cualesquiera de $T$ están al menos a $\sqrt{3}$ unidades de distancia.

Demuestra que cuando tres círculos comparten la misma cuerda $AB$, toda línea que pasa por $A$ diferente de $AB$ determina la misma razón $X Y : Y Z$, donde $X$ es un punto arbitrario diferente de $B$ en el primer círculo, mientras que $Y$ y $Z$ son los puntos donde $AX$ intersecta los otros dos círculos (etiquetados de modo que $Y$ esté entre $X$ y $Z$).

Encuentra todas las soluciones reales positivas (si las hay) para \n\begin{align*}\nx^3+y^3+z^3 &= x+y+z, \mbox{ y} \\\nx^2+y^2+z^2 &= xyz. \n\end{align*}

Encuentra los últimos tres dígitos del número $2003^{{2002}^{2001}}$.

Considera un reloj estándar de doce horas cuyas manecillas de las horas y los minutos se mueven continuamente. Sea $m$ un entero, con $1 \leq m \leq 720$. Precisamente $m$ minutos después de las 12:00, el ángulo formado por la manecilla de las horas y la de los minutos es exactamente $1^\circ$. Determina todos los valores posibles de $m$.

Hay un número finito de monedas en el monedero de David. Los valores de estas monedas son enteros positivos distintos por pares. ¿Es posible hacer tal monedero, de modo que David tenga exactamente $2020$ formas diferentes de seleccionar las monedas en su monedero y la suma de estas monedas seleccionadas sea $2020$ ?

Sea $ T$ el conjunto de todos los divisores enteros positivos de $ 2004^{100}$ . ¿Cuál es el mayor número posible de elementos de un subconjunto $ S$ de $ T$ tal que ningún elemento en $ S$ divide a ningún otro elemento en $ S$ ?

Sea $p$ un primo impar. Demuestre que: \[\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}k^{2p-1} \equiv \frac{p(p+1)}{2} \pmod{p^2}\]

Sean $ A,B,C,D$ cuatro puntos en un círculo (que ocurren en el sentido de las agujas del reloj), con $ AB<AD$ y $ BC>CD$ . Las bisectrices de los ángulos $ BAD$ y $ BCD$ se encuentran con el círculo en $ X$ e $ Y$ , respectivamente. Considere el hexágono formado por estos seis puntos en el círculo. Si cuatro de los seis lados del hexágono tienen la misma longitud, demuestre que $ BD$ debe ser un diámetro del círculo.

¿De cuántas maneras se pueden colocar $ 8$ torres mutuamente no atacantes en el tablero de ajedrez de $ 9\times9$ (que se muestra aquí) de modo que las $ 8$ torres estén en casillas del mismo color? (Se dice que dos torres se atacan entre sí si se colocan en la misma fila o columna del tablero.) [asy]unitsize(3mm);\ndefaultpen(white);\nfill(scale(9)*unitsquare,black);\nfill(shift(1,0)*unitsquare);\nfill(shift(3,0)*unitsquare);\nfill(shift(5,0)*unitsquare);\nfill(shift(7,0)*unitsquare);\n\nfill(shift(0,1)*unitsquare);\nfill(shift(2,1)*unitsquare);\nfill(shift(4,1)*unitsquare);\nfill(shift(6,1)*unitsquare);\nfill(shift(8,1)*unitsquare);\n\nfill(shift(1,2)*unitsquare);\nfill(shift(3,2)*unitsquare);\nfill(shift(5,2)*unitsquare);\nfill(shift(7,2)*unitsquare);\n\nfill(shift(0,3)*unitsquare);\nfill(shift(2,3)*unitsquare);\nfill(shift(4,3)*unitsquare);\nfill(shift(6,3)*unitsquare);\nfill(shift(8,3)*unitsquare);\n\nfill(shift(1,4)*unitsquare);\nfill(shift(3,4)*unitsquare);\nfill(shift(5,4)*unitsquare);\nfill(shift(7,4)*unitsquare);\n\nfill(shift(0,5)*unitsquare);\nfill(shift(2,5)*unitsquare);\nfill(shift(4,5)*unitsquare);\nfill(shift(6,5)*unitsquare);\nfill(shift(8,5)*unitsquare);\n\nfill(shift(1,6)*unitsquare);\nfill(shift(3,6)*unitsquare);\nfill(shift(5,6)*unitsquare);\nfill(shift(7,6)*unitsquare);\n\nfill(shift(0,7)*unitsquare);\nfill(shift(2,7)*unitsquare);\nfill(shift(4,7)*unitsquare);\nfill(shift(6,7)*unitsquare);\nfill(shift(8,7)*unitsquare);\n\nfill(shift(1,8)*unitsquare);\nfill(shift(3,8)*unitsquare);\nfill(shift(5,8)*unitsquare);\nfill(shift(7,8)*unitsquare);\n\ndraw(scale(9)*unitsquare,black);[/asy]