Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC > AB$ , tal que los puntos $A$ , $H$ , $I$ y $C$ son concíclicos (donde $H$ es el ortocentro e $I$ es el incentro del triángulo $ABC$ ). La línea $AC$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ en el punto $T$ , y la línea $BC$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $AHC$ en el punto $P$ . Si las líneas $PT$ e $HI$ son paralelas, determine las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$.

Determine los números reales $x$ , $y$ , $z > 0$ para los cuales $xyz \leq \min\left\{4(x - \frac{1}{y}), 4(y - \frac{1}{z}), 4(z - \frac{1}{x})\right\}$

Fuera del trapecio $ABCD$ con la base más pequeña $AB$ se construyen los cuadrados $ADEF$ y $BCGH$. Demuestre que la bisectriz perpendicular de $AB$ pasa por el punto medio de $FH$.

Dado un cubo de $3 \times 3 \times 3$ con $27$ cubos unitarios. En cada uno de estos cubos se escribe un entero positivo. Llame $\textit {franja}$ a un bloque $1 \times 1 \times 3$ de $3$ cubos. Los números están escritos de modo que para cada cubo, su número es la suma de otros tres números, uno de cada una de las tres franjas en las que se encuentra. Demuestre que hay al menos $16$ números que son como máximo $60$.

Inicialmente, los números $i^3-i$ para $i=2,3 \ldots 2n+1$ están escritos en una pizarra, donde $n\geq 2$ es un entero positivo. En un movimiento podemos borrar tres números $a, b, c$ y escribir el número $\frac{abc} {ab+bc+ca}$. Demuestre que cuando quedan dos números en la pizarra, su suma será mayor que $16$.

Dado un triángulo $ABC$. Sean los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB, AC$, respectivamente, de modo que $AP=AQ$, y $PQ$ pasa por el incentro $I$. Sea $(BPI)$ corta a $(CQI)$ en $M$, $PM$ corta a $BI$ en $D$ y $QM$ corta a $CI$ en $E$. Demuestre que la línea $MI$ pasa por el punto medio de $DE$.

Determine el número natural más pequeño $n$ para el cual existen naturales distintos de cero $a, b, c$, tales que $n=a+b+c$ y $(a + b)(b + c)(c + a)$ es un cubo perfecto.

Encuentra el mayor entero positivo $n$ tal que existan enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_n$ para los cuales se cumple lo siguiente $a_{k+2} = \dfrac{(a_{k+1}+a_k)(a_{k+1}+1)}{a_k}$ para todo $1 \le k \le n-2$ .

$AL$ es la bisectriz interna del triángulo escaleno $\triangle ABC$ ( $L \in BC$ ) . $K$ se elige en el segmento $AL$ . El punto $P$ se encuentra en el mismo lado con respecto a la línea $BC$ que el punto $A$ tal que $\angle BPL = \angle CKL$ y $\angle CPL = \angle BKL$ . $M$ es el punto medio del segmento $KP$ , y $D$ es el pie de la perpendicular desde $K$ sobre $BC$ . Demuestra que $\angle AMD = 180^\circ - |\angle ABC - \angle ACB|$ .

Dado un grafo con $99$ vértices y grados en $\{81,82,\dots,90\}$ , demuestra que existen $10$ vértices de este grafo con grados iguales y un vecino común.