Sea $ABC$ un triángulo agudo con $\angle B > \angle C$ . En el círculo $\mathcal{C}(O, R)$ circunscrito a este triángulo se eligen puntos $D, E, J, K, S$ tales que $A, E, J$ y $K$ están en el mismo lado de la línea $BC$ , el diámetro $DE$ es perpendicular a la cuerda $BC$ , $S\in \overarc{EK},\overarc{AE}=\overarc{BJ}=\overarc{CK}=\dfrac{1}{4}\overarc{CE}$ . Sea $\{F\}=AC\cap DE, \{M\}=BK\cap AD, \{P\}=BK\cap AC$ y $\{Q\}=CJ\cap BF$ . Si $\angle SMK =30^{\circ}$ y $\angle AQP = 90^{\circ}$ , demuestre que la línea $MS$ es tangente al círculo circunscrito del triángulo $AOF$.

Considere una cuadrícula con $n{}$ líneas y $m{}$ columnas $(n,m\in\mathbb{N},m,n\ge2)$ hecha de $n\cdot m \; 1\times1$ cuadrados llamados ${celdas}$ . Una ${serpiente}$ es una secuencia de celdas con las siguientes propiedades: la primera celda está en la primera línea de la cuadrícula y la última celda está en la última línea de la cuadrícula, comenzando con la segunda celda cada una tiene un lado en común con la celda anterior y no está por encima de la celda anterior. Defina la ${longitud}$ de una serpiente como el número de celdas de las que está hecha. Encuentre la media aritmética de las longitudes de todas las serpientes de la cuadrícula.

Suponga que $a, b,$ y $c$ son números reales positivos tales que $$a + b + c \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$ Encuentre el mayor valor posible de la expresión $$\frac{a + b - c}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{b + c - a}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{c + a - b}{c^3 + a^3 + abc}.$$

Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos distintos con la misma paridad. Demuestre que la fracción $\frac{a!+b!}{2^a}$ no es un entero.

Sea $a$ un número real positivo. Demuestre que no existen números reales $b$ y $c$ , con $b < c$ , de modo que para cualesquiera números distintos $x, y \in (b, c)$ tenemos $|\frac{x+y} {x-y}| \leq a$.

Sean los triángulos equiláteros $ABC$ y $DEF$ congruentes con los centros $O_1$ , respectivamente $O_2$ , de modo que el segmento $AB$ interseca los segmentos $DE$ y $DF$ en $M, N$ , y el segmento $AC$ interseca los segmentos $DF$ y $EF$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Denotamos por $I$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $EMN$ y $DPQ$ y por $J$ la intersección de las bisectrices de los ángulos $FNM$ y $EQP$ . Demuestre que $IJ$ es la bisectriz perpendicular del segmento $O_1O_2$.

Dado un entero positivo $n \geq 2$ y tres conjuntos disjuntos por pares $A, B, C$ , cada uno de $n$ números reales distintos. Denotemos por $a$ el número de ternas $(x, y, z) \in A \times B \times C$ que satisfacen $x<y<z$ y sea $b$ el número de ternas $(x, y, z) \in A \times B \times C$ tales que $x>y>z$ . Demuestre que $n$ divide a $a-b$.

Determine todos los números naturales $n \geq 2$ con a lo sumo cuatro divisores naturales, que tienen la propiedad de que para cualesquiera dos divisores propios distintos $d_1$ y $d_2$ de $n$ , el entero positivo $d_1-d_2$ divide a $n$.

Sea $M \geq 1$ un número real. Determine todos los números naturales $n$ para los cuales existen números naturales distintos $a$ , $b$ , $c > M$ , tales que $n = (a,b) \cdot (b,c) + (b,c) \cdot (c,a) + (c,a) \cdot (a,b)$ (donde $(x,y)$ denota el máximo común divisor de los números naturales $x$ e $y$ ).

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular de lado $2$ . Construyamos paralelas a sus lados que pasen por sus vértices y puntos medios, que dividen el hexágono en $24$ triángulos equiláteros congruentes, cuyos vértices se denominan nodos. Para cada nodo $X$ , definimos su trío como la figura formada por tres triángulos adyacentes con vértice $X$ , de modo que su intersección es sólo $X$ y no son congruentes en pares. a) Determine el área máxima posible de un trío. b) Demuestre que existe un nodo cuyos tríos pueden cubrir todo el hexágono, y un nodo cuyos tríos no pueden cubrir todo el hexágono. c) Determine el número total de triángulos asociados al hexágono.