Encuentra todas las ternas ordenadas $ (x,y,z)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[ \left\{\begin{array}{rcl} xy & = & z - x - y \ xz & = & y - x - z \ yz & = & x - y - z \end{array} \right. \]

Dados los números $ 1,2,2^2, \ldots ,2^{n-1}$ , para una permutación específica $ \sigma = x_1,x_2, \ldots, x_n$ de estos números definimos $ S_1(\sigma) = x_1$ , $ S_2(\sigma)=x_1+x_2$ , $ \ldots$ y $ Q(\sigma)=S_1(\sigma)S_2(\sigma)\cdot \cdot \cdot S_n(\sigma)$ . Evalúa $ \sum 1/Q(\sigma)$ , donde la suma se toma sobre todas las permutaciones posibles.

Hay 5 monos y 5 escaleras y en la parte superior de cada escalera hay un plátano. Un número de cuerdas conectan las escaleras, cada cuerda conecta dos escaleras. No hay dos cuerdas unidas al mismo peldaño de la misma escalera. Cada mono comienza en la parte inferior de una escalera diferente. Los monos suben por las escaleras, pero cada vez que se encuentran con una cuerda, la suben hasta la otra escalera al final de la cuerda y luego continúan subiendo. Demuestra que, no importa cuántas cuerdas haya, cada mono obtiene un plátano.

Define $ \{ a_n \}_{n=1}$ de la siguiente manera: $ a_1 = 1989^{1989}; \ a_n, n > 1,$ es la suma de los dígitos de $ a_{n-1}$ . ¿Cuál es el valor de $ a_5$ ?

Sea $ ABC$ un triángulo rectángulo de área 1. Sean $ A'B'C'$ los puntos obtenidos al reflejar $ A,B,C$ respectivamente, en sus lados opuestos. Encuentra el área de $ \triangle A'B'C'.$

Los enteros $ 1,2,...,n$ se colocan en orden de modo que cada valor sea estrictamente mayor que todos los valores precedentes o estrictamente menor que todos los valores precedentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Sea $m$ un entero positivo. Defina la secuencia $a_0, a_1, a_2, \cdots$ por $a_0 = 0,\; a_1 = m,$ y $a_{n+1} = m^2a_n - a_{n-1}$ para $n = 1,2,3,\cdots$. Pruebe que un par ordenado $(a,b)$ de enteros no negativos, con $a \leq b$, da una solución a la ecuación \[ {\displaystyle \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} = m^2} \] si y solo si $(a,b)$ es de la forma $(a_n,a_{n+1})$ para algún $n \geq 0$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{BAC} = 40^{\circ}$ y $\angle{ABC}=60^{\circ}$. Sean $D$ y $E$ los puntos que se encuentran en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $\angle{CBD} = 40^{\circ}$ y $\angle{BCE} = 70^{\circ}$. Sea $F$ el punto de intersección de las líneas $BD$ y $CE$. Demuestre que la línea $AF$ es perpendicular a la línea $BC$.

Sea $n$ un número natural tal que $n \geq 2$. Demuestre que \[ \frac {1}{n + 1} \left( 1 + \frac {1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac {1}{2n - 1} \right) > \frac {1}{n} \left( \frac {1}{2} + \frac {1}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac {1}{2n} \right). \]

Encuentre todos los números reales $x$ tales que: \[ x = \sqrt{ x - \frac{1}{x} } + \sqrt{ 1 - \frac{1}{x} } \]