Define la secuencia $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2018}, a_{2019}$ como se muestra a continuación:\n$a_{0}=1$\n$a_{n+1}=a_{n}-\frac{a_{n}^{2}}{2019}$ , $n=0,1,2, \ldots, 2018$\nDemuestra $a_{2019} < \frac{1}{2} < a_{2018}$

Encuentra todos los enteros positivos compuestos $a{}$ para los cuales existe un entero positivo $b\geqslant a$ con el mismo número de divisores que $a{}$ con la siguiente propiedad: si $a_1<\cdots<a_n$ y $b_1<\cdots<b_n$ son los divisores propios de $a{}$ y $b{}$ respectivamente, entonces $a_i+b_i, 1\leqslant i\leqslant n$ son los divisores propios de algún entero positivo $c.{}

Dado un triángulo acutángulo $ ABC$ . Sea $ CD$ la altitud , $ H$ el ortocentro y $ O$ el circuncentro de $ \triangle ABC$ La línea que pasa por el punto $ D$ y es perpendicular a $ OD$ , intersecta a $ BC$ en $ E$ . Demuestra que $ \angle DHE = \angle ABC$ .

En un parque hay 23 árboles $t_0,t_1,\dots,t_{22}$ en un círculo y 22 pájaros $b_1,n_2,\dots,b_{22}.$ Inicialmente, cada pájaro está en un árbol. Cada minuto, el pájaro $b_i, 1\leqslant i\leqslant 22$ vuela desde el árbol $t_j{}$ al árbol $t_{i+j}$ en sentido horario, los índices se toman módulo 23. Demuestra que existe un momento en el que al menos 6 árboles están vacíos.

Denotamos por $\mathbb{R}^+$ al conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb R^ + \rightarrow\mathbb R^ +$ que tienen la propiedad: \[f(x)f(y)=2f(x+yf(x))\] para todos los números reales positivos $x$ e $y$.

Sea $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}_+^* $ una función Riemann-integrable. Calcula $ \lim_{n\to\infty}\left(-n+\sum_{i=1}^ne^{\frac{1}{n}\cdot f\left(\frac{i}{n}\right)}\right) . $

Sea una función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ tal que: $ \text{(i)}\quad f(0)=0 $ $ \text{(ii)}\quad f'(x)\neq 0,\quad\forall x\in\mathbb{R} $ $ \text{(iii)}\quad \left. f''\right|_{\mathbb{R}}\text{ existe y es continua} $\nDemuestra que la función $ g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ definida como $$ g(x)=\left\{\begin{matrix}\cos\frac{1}{f(x)},\quad x\neq 0\\ 0,\quad x=0\end{matrix}\right. $$ es primitivable.

Define el operador ' $ * $ ' en $ \mathbb{R} $ como $ x*y=x+y+xy. $\nMuestra que $ \mathbb{R}\setminus\{ -1\} , $ junto con el operador anterior, es isomorfo con $ \mathbb{R}\setminus\{ 0\} , $ con la multiplicación usual.\nDetermina todos los semigrupos finitos de $ \mathbb{R} $ bajo ' $ *. $ ' ¿Cuáles de ellos son grupos?\nPrueba que si $ H\subset_{*}\mathbb{R} $ es un semigrupo acotado, entonces $ H\subset [-2, 0]. $

Problema bien conocido

Sean dos números naturales distintos $ k_1 $ y $ k_2 $ y una sucesión $ \left( x_n \right)_{n\ge 0} $ que satisface $$ x_nx_m +k_1k_2\le k_1x_n +k_2x_m,\quad\forall m,n\in\{ 0\}\cup\mathbb{N}. $$ Calcula $ \lim_{n\to\infty}\frac{n!\cdot (-1)^{1+n}\cdot x_n^2}{n^n} . $