2 En cierto planeta hay $2^N$ países $(N \geq 4).$ Cada país tiene una bandera de $N$ unidades de ancho y una unidad de alto, compuesta por $N$ campos de tamaño $1 \times 1,$ siendo cada campo amarillo o azul. No hay dos países con la misma bandera. Decimos que un conjunto de $N$ banderas es diverso si estas banderas pueden disponerse en un cuadrado de $N \times N$ de modo que los $N$ campos de su diagonal principal tengan el mismo color. Determine el menor entero positivo $M$ tal que entre cualesquiera $M$ banderas distintas existan $N$ banderas que formen un conjunto diverso. Propuesto por Tonći Kokan, Croacia

4 Cada una de las seis cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ , $B_6$ contiene inicialmente una moneda. Se permiten las siguientes operaciones: Tipo 1) Elegir una caja no vacía $B_j$ , $1\leq j \leq 5$ , retirar una moneda de $B_j$ y añadir dos monedas a $B_{j+1}$ ; Tipo 2) Elegir una caja no vacía $B_k$ , $1\leq k \leq 4$ , retirar una moneda de $B_k$ e intercambiar el contenido (quizá vacío) de las cajas $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$ . Determine si existe una sucesión finita de operaciones de los tipos permitidos tal que las cinco cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ queden vacías, mientras que la caja $B_6$ contenga exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas. Propuesto por Hans Zantema, Países Bajos

3 Sea $ (a_{n})_{n\ge 1}$ una sucesión de enteros positivos que satisface $ (a_{m},a_{n}) = a_{(m,n)}$ (para todos $ m,n\in N^ +$ ) . Demuestre que para cualquier $ n\in N^ + ,\prod_{d|n}{a_{d}^{\mu (\frac {n}{d})}}$ es un entero, donde $ d|n$ denota que $ d$ recorre todos los divisores positivos de $ n.$ La función $ \mu (n)$ se define como sigue: si $ n$ es divisible por el cuadrado de cierto número primo, entonces $ \mu (1) = 1;\mu (n) = 0$ ; si $ n$ se puede expresar como producto de $ k$ números primos diferentes, entonces $ \mu (n) = ( - 1)^k.$ Fang-jh

5 Determina las progresiones geométricas crecientes, con tres términos enteros, tales que la suma de estos términos sea $57$.

3 Hay que colocar 2500 reyes de ajedrez en un tablero de ajedrez de $100 \times 100$ de modo que (i) ningún rey pueda capturar a otro (es decir, no haya dos reyes colocados en dos casillas que compartan un vértice común); (ii) cada fila y cada columna contenga exactamente 25 reyes. Halle el número de tales colocaciones. (Se supone que dos colocaciones que difieren por una rotación o una simetría son diferentes.) Propuesto por Sergei Berlov, Rusia

1 Demuestre que $0\le yz+zx+xy-2xyz\le{7\over27}$ , donde $x,y$ y $z$ son números reales no negativos que satisfacen $x+y+z=1$ .

6 Dados un entero positivo $k$ y otros dos enteros $b > w > 1.$ Hay dos sartas de perlas: una sarta de $b$ perlas negras y una sarta de $w$ perlas blancas. La longitud de una sarta es el número de perlas que contiene. Se cortan estas sartas en algunos pasos de acuerdo con las siguientes reglas. En cada paso: (i) Las sartas se ordenan por sus longitudes en orden no creciente. Si hay varias sartas de igual longitud, las blancas preceden a las negras. Entonces se eligen las $k$ primeras (si constan de más de una perla); si hay menos de $k$ sartas de longitud mayor que 1, se eligen todas. (ii) A continuación, se corta cada sarta elegida en dos partes cuyas longitudes difieren en a lo sumo uno. (Por ejemplo, si hay sartas de $5, 4, 4, 2$ perlas negras, sartas de $8, 4, 3$ perlas blancas y $k = 4,$ entonces las sartas de 8 blancas, 5 negras, 4 blancas y 4 negras se cortan en las partes $(4,4), (3,2), (2,2)$ y $(2,2)$ respectivamente.) El proceso se detiene inmediatamente después del paso en el que aparece la primera perla blanca aislada. Demuestre que en ese momento todavía existirá una sarta de al menos dos perlas negras. Propuesto por Bill Sands, Thao Do, Canadá

7 Sean $P_1, \ldots , P_s$ progresiones aritméticas de enteros que satisfacen las siguientes condiciones: (i) cada entero pertenece al menos a una de ellas; (ii) cada progresión contiene un número que no pertenece a las demás progresiones. Denote por $n$ el mínimo común múltiplo de las razones de estas progresiones; sea $n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$ su descomposición en factores primos. Demuestre que \[s \geq 1 + \sum^k_{i=1} \alpha_i (p_i - 1).\] Propuesto por Dierk Schleicher, Alemania

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $D, E, F$ los pies de las alturas trazadas sobre $BC, CA, AB$ respectivamente. Uno de los puntos de intersección de la recta $EF$ con la circunferencia circunscrita es $P.$ Las rectas $BP$ y $DF$ se cortan en el punto $Q.$ Demuestre que $AP = AQ.$ Propuesto por Christopher Bradley, Reino Unido Amir

6 Carlos tiene dos dados de seis caras. Uno de los dados es justo, y el otro está sesgado de modo que sale seis con probabilidad $\tfrac23,$ y cada una de las otras cinco caras tiene probabilidad $\tfrac{1}{15}.$ Carlos elige uno de los dos dados al azar y lo lanza tres veces. Dado que los primeros dos lanzamientos son ambos seis, la probabilidad de que el tercer lanzamiento también sea seis es $\tfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos relativamente primos. Encuentra $p+q$ .