Hay $n \ge 3$ números reales positivos distintos. Demuestra que hay como máximo $n-2$ potencias enteras diferentes de tres que se pueden escribir como la suma de tres elementos distintos de estos $n$ números.

Sean $ x$, $ y$ , y $ z$ números reales no negativos que satisfacen $ x + y + z = 1$. Demuestra que \[ x^2 y + y^2 z + z^2 x \leq \frac {4}{27} \] y encuentra cuándo ocurre la igualdad.

Supongamos que $a_1,a_2,\cdots,a_8$ son ocho enteros distintos de $\{1,2,\cdots,16,17\}$. Demuestra que existe un entero $k > 0$ tal que la ecuación $a_i - a_j = k$ tiene al menos tres soluciones diferentes. Además, encuentra un conjunto específico de 7 enteros distintos de $\{1,2,\ldots,16,17\}$ tal que la ecuación $a_i - a_j = k$ no tiene tres soluciones distintas para ningún $k > 0$.

Determina todos los enteros positivos $n$ con la propiedad de que $n = (d(n))^2$. Aquí $d(n)$ denota el número de divisores positivos de $n$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero de altura 1. Un círculo con radio 1 y centro en el mismo lado de $AB$ que $C$ rueda a lo largo del segmento $AB$. Demuestra que el arco del círculo que está dentro del triángulo siempre tiene la misma longitud.

Encuentra todas las soluciones reales a la ecuación $4x^2 - 40 \lfloor x \rfloor + 51 = 0$.

Un paralelepípedo tiene la propiedad de que todas las secciones transversales, que son paralelas a cualquier cara fija $F$, tienen el mismo perímetro que $F$. Determine si algún otro poliedro tiene esta propiedad o no.

Una estudiante que juega tira una moneda justa. Ella gana $1$ punto por cada cara que aparece, y gana $2$ puntos por cada cruz que aparece. Demuestre que la probabilidad de que la estudiante obtenga exactamente $n$ puntos es $\frac{1}{3}\cdot\left(2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right)$.

Entre todos los triángulos que tienen (i) un ángulo fijo $A$ y (ii) un círculo inscrito de radio fijo $r$, determine qué triángulo tiene el perímetro mínimo más pequeño.

Los números del $1$ al $50$ están impresos en tarjetas. Las tarjetas se barajan y luego se colocan boca arriba en $5$ filas de $10$ tarjetas cada una. Las tarjetas de cada fila se reorganizan para que aumenten de izquierda a derecha. Las tarjetas de cada columna se reorganizan para que aumenten de arriba a abajo. En la disposición final, ¿las tarjetas de las filas siguen aumentando de izquierda a derecha?