Encontrar las funciones $f:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ tales que a) $f(x,y)\cdot f(y,z) \cdot f(z,x) = 1$ para todos los enteros $x,y,z$; b) $f(x+1,x)=2$ para todos los enteros $x$.

Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo unitario finito, con $n\geq 3$ elementos en el que existen exactamente $\dfrac {n+1}2$ cuadrados perfectos (por ejemplo, un número $b\in A$ se llama un cuadrado perfecto si y sólo si existe un $a\in A$ tal que $b=a^2$). Demostrar que a) $1+1$ es invertible; b) $(A,+,\cdot)$ es un campo.

Sea $ABC$ un triángulo no rectángulo y sea $H$ su ortocentro. Sean $M_1,M_2,M_3$ los puntos medios de los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Sean $A_1$, $B_1$, $C_1$ los puntos simétricos de $H$ con respecto a $M_1$, $M_2$ y $M_3$ respectivamente, y sean $A_2$, $B_2$, $C_2$ los ortocentros de los triángulos $BA_1C$, $CB_1A$ y $AC_1B$ respectivamente. Demostrar que: a) los triángulos $ABC$ y $A_2B_2C_2$ tienen el mismo centroide; b) los centroides de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$, $CC_1C_2$ forman un triángulo similar a $ABC$.

Sea $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una función continua y sean $\{a_n\}_n$, $\{b_n\}_n$ sucesiones de reales tales que \[ \lim_{n\to\infty} \int^1_0 | f(x) - a_nx - b_n | dx = 0 . \] Demostrar que: a) Las sucesiones $\{a_n\}_n$, $\{b_n\}_n$ son convergentes; b) La función $f$ es lineal.

Sean $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$, $n\geq 2$, $n$ conjuntos finitos con las propiedades i) $|A_i| \geq 2$, para todo $1\leq i \leq n$; ii) $|A_i\cap A_j| \neq 1$, para todo $1\leq i<j\leq n$. Demostrar que los elementos del conjunto $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i$ pueden ser coloreados con 2 colores, de forma que todos los conjuntos $A_i$ sean bi-color, para todo $1\leq i \leq n$.

Un entero positivo se llama solitario si la suma de los inversos de sus divisores positivos (incluidos $1$ y él mismo) no es igual a la suma de los inversos de los divisores positivos de cualquier otro entero positivo.\na) Muestra que cualquier número primo es solitario.\nb) Demuestra que hay infinitos números que no son solitarios

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario, y sean $M, N, P$ tres puntos cualesquiera en los lados $BC, CA, AB$ tales que las líneas $AM, BN, CP$ concurren. Sea la paralela a la línea $AB$ a través del punto $N$ que se encuentra con la línea $MP$ en un punto $E$ , y sea la paralela a la línea $AB$ a través del punto $M$ que se encuentra con la línea $NP$ en un punto $F$ . Entonces, las líneas $CP, MN$ y $EF$ son concurrentes.

Escojamos arbitrariamente $n$ vértices de un $2n$ - gono regular y coloreémoslos de rojo. Los vértices restantes se colorean de azul. Organizamos todas las distancias rojo-rojo en una secuencia no decreciente y hacemos lo mismo con las distancias azul-azul. Demuestra que las dos secuencias así obtenidas son idénticas.

Muestra que, para todos los números reales positivos $a, b, c$ tales que $abc = 1$ , la desigualdad $$\frac{1}{1 + a^2 + (b + 1)^2} +\frac{1}{1 + b^2 + (c + 1)^2} +\frac{1}{1 + c^2 + (a + 1)^2} \le \frac{1}{2}$$

Considera el conjunto $A = \{1, 2, 3, ..., 2n - 1\}$ , donde $n \ge 2$ es un entero positivo. Removemos del conjunto $A$ al menos $n - 1$ elementos tales que:\n• si $a \in A$ ha sido removido, y $2a \in A$ , entonces $2a$ también ha sido removido,\n• si $a, b \in A (a \ne b)$ han sido removidos y $a + b \in A$ , entonces $a + b$ también ha sido removido. ¿Qué números tienen que ser removidos para que la suma de los números restantes sea máxima?