Si $a679b$ es la expansión decimal de un número en base $10$, tal que es divisible por $72$, determine $a,b$.

Determine todos los pares $(n,m)$ de enteros positivos para los cuales existe una secuencia infinita $\{x_k\}$ de $0$ ' s y $1$ ' s con las propiedades de que si $x_i=0$ entonces $x_{i+m}=1$ y si $x_i = 1$ entonces $x_{i+n} = 0.$

Mil estudiantes participan en el Desafío Canadiense de Matemáticas Cerrado de $2011$. A cada estudiante se le asigna un número de identificación único de tres dígitos $abc,$ donde cada uno de $a, b$ y $c$ es un dígito entre $0$ y $9,$ inclusive. Más tarde, cuando se marquen los concursos, se contratará a varios marcadores. A cada uno de los marcadores se le dará un número de identificación único de dos dígitos $xy,$ con cada uno de $x$ e $y$ un dígito entre $0$ y $9,$ inclusive. El marcador $xy$ podrá marcar cualquier concurso con un número de identificación de la forma $xyA$ o $xAy$ o $Axy,$ para cualquier dígito $A.$ ¿Cuál es el número mínimo posible de marcadores que se contratarán para garantizar que todos los concursos sean marcados?

En el diagrama, $ABDF$ es un trapecio con $AF$ paralelo a $BD$ y $AB$ perpendicular a $BD.$ El círculo con centro $B$ y radio $AB$ se encuentra con $BD$ en $C$ y es tangente a $DF$ en $E.$ Suponga que $x$ es igual al área de la región dentro del cuadrilátero $ABEF$ pero fuera del círculo, que y es igual al área de la región dentro de $\triangle EBD$ pero fuera del círculo, y que $\alpha = \angle EBC.$ Demuestre que hay exactamente una medida $\alpha,$ con $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ,$ para la cual $x = y$ y que este valor de $\frac 12 < \sin \alpha < \frac{1}{\sqrt 2}.$ [asy]\nimport graph; size(150); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen qqttff = rgb(0,0.2,1); pen fftttt = rgb(1,0.2,0.2);\ndraw(circle((6.04,2.8),1.78),qqttff); draw((6.02,4.58)--(6.04,2.8),fftttt); draw((6.02,4.58)--(6.98,4.56),fftttt); draw((6.04,2.8)--(8.13,2.88),fftttt); draw((6.98,4.56)--(8.13,2.88),fftttt);\ndot((6.04,2.8),ds); label('$B$', (5.74,2.46), NE*lsf); dot((6.02,4.58),ds); label('$A$', (5.88,4.7), NE*lsf); dot((6.98,4.56),ds); label('$F$', (7.06,4.6), NE*lsf); dot((7.39,3.96),ds); label('$E$', (7.6,3.88), NE*lsf); dot((8.13,2.88),ds); label('$D$', (8.34,2.56), NE*lsf); dot((7.82,2.86),ds); label('$C$', (7.5,2.46), NE*lsf); clip((-4.3,-10.94)--(-4.3,6.3)--(16.18,6.3)--(16.18,-10.94)--cycle);\n[/asy]

Cada vértice de un $11$ - gono regular se colorea de negro o dorado. Todos los triángulos posibles se forman usando estos vértices. Demuestre que hay dos triángulos congruentes con tres vértices negros o dos triángulos congruentes con tres vértices dorados.

Alphonse y Beryl juegan un juego comenzando con una pizarra en blanco. Alphonse va primero y los dos jugadores alternan turnos. En el primer turno de Alphonse, él escribe el entero $10^{2011}$ en la pizarra. En cada turno subsiguiente, cada jugador puede hacer exactamente una de las siguientes dos cosas: (i) reemplazar cualquier número $x$ que esté actualmente en la pizarra con dos enteros a y b mayores que $1$ tal que $x = ab,$ o (ii) borrar una o dos copias de un número $y$ que aparece al menos dos veces en la pizarra. Por lo tanto, puede haber muchos números en la pizarra en cualquier momento. El primer jugador que no puede hacer ninguna de estas cosas pierde. Determine qué jugador tiene una estrategia ganadora y explique la estrategia.

Determine todas las soluciones al sistema de ecuaciones: \[x^2 + y^2 + x + y = 12\] \[xy + x + y = 3\] [Esta es la forma exacta del problema que apareció en el papel, pero creo que significa resolver en $\mathbb R.$ ]

Brennan elige un conjunto $A = \{a, b,c, d, e \}$ de cinco números reales con $a \leq b \leq c \leq d \leq e.$ Delaney determina los subconjuntos de $A$ que contienen tres números y suma los números en estos subconjuntos. Ella obtiene las sumas $0, 3; 4, 8; 9, 10, 11, 12, 14, 19.$ ¿Cuáles son los cinco números en el conjunto de Brennan?

En el diagrama, el círculo tiene radio $\sqrt 7$ y centro $O.$ Los puntos $A, B$ y $C$ están en el círculo. Si $\angle BOC=120^\circ$ y $AC = AB + 1,$ determine la longitud de $AB.$ [asy]\nimport graph; size(120); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen qqttff = rgb(0,0.2,1); pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1); pen fftttt = rgb(1,0.2,0.2);\ndraw(circle((2.34,2.4),2.01),qqttff); draw((2.34,2.4)--(1.09,0.82),fftttt); draw((2.34,2.4)--(4.1,1.41),fftttt); draw((1.09,0.82)--(1.4,4.18),fftttt); draw((4.1,1.41)--(1.4,4.18),fftttt);\ndot((2.34,2.4),ds); label('$O$', (2.1,2.66),NE*lsf); dot((1.09,0.82),ds); label('$B$', (0.86,0.46),NE*lsf); dot((4.1,1.41),ds); label('$C$', (4.2,1.08),NE*lsf); dot((1.4,4.18),ds); label('$A$', (1.22,4.48),NE*lsf); clip((-4.34,-10.94)--(-4.34,6.3)--(16.14,6.3)--(16.14,-10.94)--cycle);\n[/asy]

Se dice que un cuadrilátero convexo $ABCD$ es divisible si para cada punto interno $P$ , el área de $\triangle PAB$ más el área de $\triangle PCD$ es igual al área de $\triangle PBC$ más el área de $\triangle PDA$ . Caracterice todos los cuadriláteros que son divisibles.