Los enteros positivos $a, b, c$ tienen máximo común divisor $1$ . El trío $(a, b, c)$ puede ser alterado a otro trío de manera que en cada paso uno de los números en el trío actual se aumenta o disminuye en un múltiplo entero de otro elemento del trío. Demuestra que el trío $(1,0,0)$ se puede obtener en a lo sumo $5$ pasos.

Considera una semicircunferencia de centro $O$ y diámetro $[AB]$ , y sea $C$ un punto arbitrario en el segmento $(OB)$ . La perpendicular a la línea $AB$ a través de $C$ intersecta la semicircunferencia en $D$ . Un círculo centrado en $P$ es tangente al arco $BD$ en $F$ y a los segmentos $[AB]$ y $[CD]$ en $G$ y $E$ , respectivamente. Demuestra que el triángulo $ADG$ es isósceles.

Sean $a, b, c, d$ números reales no nulos distintos que satisfacen las siguientes dos condiciones: $ac = bd$ y $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}= 4$ . Determina el valor más grande posible de la expresión $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b}$ .

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo centrado en $O$ , y $\{P\} = AC \cap BD, \{Q\} = AB \cap CD$ . Sea $R$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABP$ y $CDP$ .\na) Demuestra que los puntos $P, Q$ , y $R$ son colineales.\nb) Si $U$ y $V$ son los circuncentros de los triángulos $ABP$ , y $CDP$ , respectivamente, demuestra que los puntos $U, R, O, V$ son concíclicos.

Sean $m$ y $n$ dos enteros positivos, $m, n \ge 2$ . Resuelve en el conjunto de los enteros positivos la ecuación $x^n + y^n = 3^m$ .

De un cuadrado de $n \times n $, $n \ge 2,$ se eliminan los cuadrados unitarios situados tanto en las filas impares como en las columnas impares. Determina el número mínimo de baldosas rectangulares necesarias para cubrir la superficie restante.

Sean $a_1, a_2, ..., a_n$ números reales tales que $a_1 = a_n = a$ y $a_{k+1} \le \frac{a_k + a_{k+2}}{2} $ , para todo $k = 1, 2, ..., n - 2$ . Demuestra que $a_k \le a,$ para todo $k = 1, 2, ..., n.$

Sea $ABC$ un triángulo y $A', B', C'$ los puntos en los que su incírculo toca los lados $BC, CA, AB$ , respectivamente. Denotamos por $I$ el incentro y por $P$ su proyección sobre $AA' $ . Sea $M$ el punto medio del segmento de línea $[A'B']$ y $N$ el punto de intersección de las líneas $MP$ y $AC$ . Demuestra que $A'N $ es paralelo a $B'C'$

$100$ pesos, midiendo $1,2, ..., 100$ gramos, respectivamente, se colocan en los dos platos de una balanza de manera que la balanza esté equilibrada. Demuestra que se pueden quitar dos pesos de cada plato de manera que el equilibrio no se rompa.

Considera el triángulo $ABC$ y los puntos $D \in (BC)$ y $M \in (AD)$ . Las líneas $BM$ y $AC$ se intersectan en $E$ , las líneas $CM$ y $AB$ se intersectan en $F$ , y las líneas $EF$ y $AD$ se intersectan en $N$ . Demuestra que $$\frac{AN}{DN}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AM}{DM}$$