Suponga que $0^\circ < A < 90^\circ$ y $0^\circ < B < 90^\circ$ y \[\left(4+\tan^2 A\right)\left(5+\tan^2 B\right) = \sqrt{320}\tan A\tan B\] Determine todos los valores posibles de $\cos A\sin B$ .

En el diagrama, $ABCDEF$ es un hexágono regular con una longitud lateral de 2. Los puntos $E$ y $F$ están en el eje $x$ y los puntos $A$ , $B$ , $C$ , y $D$ se encuentran en una parábola. ¿Cuál es la distancia entre las dos intersecciones con el eje $x$ de la parábola?\n[asy]\n/* Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki go to User:Azjps/geogebra */\nimport graph; size(6cm); \nreal labelscalefactor = 0.5;\npen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); \npen dotstyle = black; \nreal xmin = -3.3215445204635294, xmax = 7.383669550094284, ymin = -4.983460515387094, ymax = 6.688676116382409;\npen zzttqq = rgb(0.6,0.2,0); pen cqcqcq = rgb(0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882); \n\ndraw((2,0)--(4,0)--(5,1.7320508075688774)--(4,3.4641016151377553)--(2,3.4641016151377557)--(1,1.732050807568879)--cycle, linewidth(1)); \n\nLabel laxis; laxis.p = fontsize(10); \nxaxis(xmin, xmax, EndArrow(6), above = true); \nyaxis(ymin, ymax, EndArrow(6), above = true);\n\ndraw((2,0)--(4,0), linewidth(1)); \ndraw((4,0)--(5,1.7320508075688774), linewidth(1)); \ndraw((5,1.7320508075688774)--(4,3.4641016151377553), linewidth(1)); \ndraw((4,3.4641016151377553)--(2,3.4641016151377557), linewidth(1)); \ndraw((2,3.4641016151377557)--(1,1.732050807568879), linewidth(1)); \ndraw((1,1.732050807568879)--(2,0), linewidth(1)); \nreal f1 (real x) {return -0.58*x^(2)+3.46*x-1.15;} \ndraw(graph(f1,-3.3115445204635297,7.373669550094284), linewidth(1)); \nclip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); \n/*yes i used geogebra fight me*/\n[/asy]

Suponga que $n$ es un entero positivo y que $a$ es el entero igual a $\frac{10^{2n}-1}{3\left(10^n+1\right)}.$ Si la suma de los dígitos de $a$ es 567, ¿cuál es el valor de $n$ ?

Un frasco contiene 6 crayones, de los cuales 3 son rojos, 2 son azules y 1 es verde. Jakob mete la mano en el frasco y saca al azar 2 de los crayones. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos crayones sean rojos?

Una liebre, una mofeta y una tortuga están corriendo una carrera. La mofeta termina la carrera en 6 minutos. La liebre corre 3 veces más rápido que la mofeta. La liebre corre 5 veces más rápido que la tortuga. ¿Cuánto tiempo tarda la tortuga en terminar la carrera?

Paul tiene 6 cajas, cada una de las cuales contiene 12 bandejas. Paul también tiene 4 bandejas adicionales. Si cada bandeja puede contener 8 manzanas, ¿cuál es el mayor número posible de manzanas que pueden contener las 6 cajas y las 4 bandejas adicionales?

Un grafo simple $G$ tiene $19998$ vértices. Para cualquier subgrafo $\bar G$ de $G$ con $9999$ vértices, $\bar G$ tiene al menos $9999$ aristas. Encuentra el número mínimo de aristas en $G$

$S= \{1,4,8,9,16,...\} $ es el conjunto de potencias enteras perfectas. ( $S=\{ n^k| n, k \in Z, k \ge 2 \}$ .) Acomodamos los elementos en $S$ en una secuencia creciente $\{a_i\}$. Demuestra que hay infinitos $n$, tales que $9999|a_{n+1}-a_n$

Hay finitas monedas en la bolsa de David. Los valores de estas monedas son enteros positivos distintos por pares. ¿Es posible hacer tal bolsa, de modo que David tenga exactamente $2020$ formas diferentes de seleccionar las monedas en su bolsa y la suma de estas monedas seleccionadas sea $2020$?

$ABCD$ es un rombo fijo. El segmento $PQ$ es tangente al círculo inscrito de $ABCD$, donde $P$ está en el lado $AB$ y $Q$ está en el lado $AD$. Demuestra que, cuando el segmento $PQ$ se mueve, el área de $\Delta CPQ$ es constante.