Para enteros positivos $m,n \geq 2$ , sea $S_{m,n} = \{(i,j): i \in \{1,2,\ldots,m\}, j\in \{1,2,\ldots,n\}\}$ una cuadrícula de $mn$ puntos reticulares en el plano coordenado. Determinar todos los pares $(m,n)$ para los cuales existe un polígono simple $P$ con vértices en $S_{m,n}$ tal que todos los puntos en $S_{m,n}$ están en la frontera de $P$ , todos los ángulos interiores de $P$ son o bien $90^{\circ}$ o $270^{\circ}$ y todas las longitudes de los lados de $P$ son $1$ o $3$ .

Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existe una configuración de $n$ puntos en el plano, no tres colineales, que pueden ser etiquetados $1$ hasta $n$ de dos maneras diferentes, de modo que se cumpla la siguiente condición: Para cada triplete $(i,j,k), 1 \leq i < j < k \leq n$ , el triángulo $ijk$ en un etiquetado tiene la misma orientación que el triángulo etiquetado $ijk$ en el otro, excepto para $(i,j,k) = (1,2,3)$ .

Fijar un entero $n \geq 2$ y sean $a_1, \ldots, a_n$ enteros, donde $a_1 = 1$ . Sea $$ f(x) = \sum_{m=1}^n a_mm^x. $$ Supongamos que $f(x) = 0$ para algún valor entero positivo consecutivo $K$ de $x$ . En términos de $n$ , determinar el valor máximo posible de $K$ .

Determinar todos los polinomios $P$ con coeficientes reales que satisfacen la siguiente condición: siempre que $x$ e $y$ sean números reales tales que $P(x)$ y $P(y)$ sean ambos racionales, también lo es $P(x + y)$ .

Considera las funciones continuas $ f:[0,\infty )\longrightarrow\mathbb{R}, g: [0,1]\longrightarrow\mathbb{R} , $ donde $f$ tiene un límite finito en $ \infty . $ Demuestra que: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\int_0^n f(x) g\left( \frac{x}{n} \right) dx =\int_0^1 g(x)dx\cdot\lim_{x\to\infty} f(x) . $$

Sea $\displaystyle \mathcal K$ un campo finito tal que el polinomio $\displaystyle X^2-5$ es irreducible sobre $\displaystyle \mathcal K$ . Demuestra que:\n(a) $1+1 \neq 0$ ;\n(b) para todo $\displaystyle a \in \mathcal K$ , el polinomio $\displaystyle X^5+a$ es reducible sobre $\displaystyle \mathcal K$ .

Sean dos funciones continuas distintas $ f,g:[0,1]\longrightarrow (0,\infty ) $ relacionadas por la igualdad $ \int_0^1 f(x)dx =\int_0^1 g(x)dx , $ y define la secuencia $ \left( x_n \right)_{n\ge 0} $ como $$ x_n=\int_0^1 \frac{\left( f(x) \right)^{n+1}}{\left( g(x) \right)^n} dx . $$\na) Demuestra que $ \infty =\lim_{n\to\infty} x_n. $\nb) Demuestra que la secuencia $ \left( x_n \right)_{n\ge 0} $ es monótona.

Sea $(G,\cdot)$ un grupo finito con el elemento identidad, $e$ . El entero positivo más pequeño $n$ con la propiedad de que $x^{n}= e$ , para todo $x \in G$ , se llama el exponente de $G$ .\n(a) Para todos los primos $p \geq 3$ , demuestra que el grupo multiplicativo $\mathcal G_{p}$ de las matrices de la forma $\begin{pmatrix}\hat 1 & \hat a & \hat b \\ \hat 0 & \hat 1 & \hat c \\ \hat 0 & \hat 0 & \hat 1 \end{pmatrix}$ , con $\hat a, \hat b, \hat c \in \mathbb Z \slash p \mathbb Z$ , no es conmutativo y tiene exponente $p$ .\n(b) Demuestra que si $\left( G, \circ \right)$ y $\left( H, \bullet \right)$ son grupos finitos de exponentes $m$ y $n$ , respectivamente, entonces el grupo $\left( G \times H, \odot \right)$ con la operación dada por $(g,h) \odot \left( g^\prime, h^\prime \right) = \left( g \circ g^\prime, h \bullet h^\prime \right)$ , para todo $\left( g,h \right), \, \left( g^\prime, h^\prime \right) \in G \times H$ , tiene el exponente igual a $\textrm{lcm}(m,n)$ .\n(c) Demuestra que cualquier $n \geq 3$ es el exponente de un grupo finito no conmutativo.

Demostrar que no importa cómo numeremos los vértices de un cubo con enteros del 1 al 8, existen dos vértices opuestos en el cubo (por ejemplo, son los extremos de una diagonal grande del cubo), unidos a través de una línea quebrada formada con 3 aristas del cubo, tal que la suma de los 4 números escritos en los vértices de estas líneas quebradas es al menos 21.

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y sea $F$ el conjunto de elementos en el grupo $G$ de orden finito. Demostrar que si $F$ es finito, entonces existe un entero positivo $n$ tal que para todo $x\in G$ y para todo $y\in F$, tenemos \[ x^n y = yx^n. \]