2 Sean $a,b,c,d$ números reales que satisfacen las relaciones $a+b+c+d=6$ y $a^2+b^2+c^2+d^2=12.$ Demuestre que \[36 \leq 4 \left(a^3+b^3+c^3+d^3\right) - \left(a^4+b^4+c^4+d^4 \right) \leq 48.\] Propuesto por Nazar Serdyuk, Ucrania

3 Sean $x_1, \ldots , x_{100}$ números reales no negativos tales que $x_i + x_{i+1} + x_{i+2} \leq 1$ para todo $i = 1, \ldots , 100$ (ponemos $x_{101 } = x_1, x_{102} = x_2).$ Halle el máximo valor posible de la suma $S = \sum^{100}_{i=1} x_i x_{i+2}.$ Propuesto por Sergei Berlov, Ilya Bogdanov, Rusia

Halle todas las funciones $f:\mathbb {Z}\to\mathbb Z$ que satisfacen que para cualesquiera enteros ${a}$ , ${b}$ , ${c}$ , $$2f(a^2+b^2+c^2)-2f(ab+bc+ca)=f(a-b)^2+f(b-c)^2+f(c-a)^2$$

4 Una sucesión $x_1, x_2, \ldots$ se define por $x_1 = 1$ y $x_{2k}=-x_k, x_{2k-1} = (-1)^{k+1}x_k$ para todo $k \geq 1.$ Demuestre que $\forall n \geq 1$ , $x_1 + x_2 + \ldots + x_n \geq 0.$ Propuesto por Gerhard Wöginger, Austria

A1 Halle todas las funciones $f:\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ tales que, para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$ , se cumple la siguiente igualdad: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\] (Aquí $\mathbb{Z}$ denota el conjunto de los enteros.) Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica

5 Denote por $\mathbb{Q}^+$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Determine todas las funciones $f : \mathbb{Q}^+ \mapsto \mathbb{Q}^+$ que satisfacen la siguiente ecuación para todo $x, y \in \mathbb{Q}^+:$ \[f\left( f(x)^2y \right) = x^3 f(xy).\] Propuesto por Thomas Huber, Suiza

6 Suponga que $f$ y $g$ son dos funciones definidas sobre el conjunto de los enteros positivos y que toman valores enteros positivos. Suponga también que las ecuaciones $f(g(n)) = f(n) + 1$ y $g(f(n)) = g(n) + 1$ se cumplen para todos los enteros positivos. Demuestre que $f(n) = g(n)$ para todo entero positivo $n.$ Propuesto por Alex Schreiber, Alemania

7 Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una sucesión de números reales positivos, y sea $s$ un entero positivo, tales que \[a_n = \max \{ a_k + a_{n-k} \mid 1 \leq k \leq n-1 \} \ \textrm{ for all } \ n > s.\] Demuestre que existen enteros positivos $\ell \leq s$ y $N$ tales que \[a_n = a_{\ell} + a_{n - \ell} \ \textrm{ for all } \ n \geq N.\] Propuesto por Morteza Saghafiyan, Irán

N7 Demuestre que existe una constante $c>0$ e infinitos enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: hay infinitos enteros positivos que no pueden expresarse como la suma de menos de $cn\log(n)$ potencias $n$ t h coprimas dos a dos. Canada

El siguiente diagrama muestra un arreglo rectangular de $4\times4$ puntos, cada uno de los cuales está a $1$ unidad de distancia de sus vecinos más cercanos. [asy]unitsize(0.25inch); defaultpen(linewidth(0.7)); int i, j; for(i = 0; i < 4; ++i) for(j = 0; j < 4; ++j) dot(((real)i, (real)j));[/asy] Define un camino creciente como una secuencia de puntos distintos del arreglo con la propiedad de que la distancia entre puntos consecutivos de la secuencia es estrictamente creciente. Sea $ m$ el máximo número posible de puntos en un camino creciente, y sea $ r$ el número de caminos crecientes que consisten exactamente de $ m$ puntos. Encuentra $ mr$ .