Sean $a,b,c,d\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$, $d\ne 0$ y la función $f:\mathbb{Z}_{\ge 0}\to\mathbb Z_{\ge 0}$ definida por $f(n)=\left\lfloor \frac{an+b}{cn+d}\right\rfloor\text{ para todo } n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}.$ Demuestra que lo siguiente es equivalente: $f$ es sobreyectiva; $c=0$, $b<d$ y $0<a\le d$.

Encuentra los números complejos $x,y,z$, con $\mid x\mid=\mid y\mid=\mid z\mid$, sabiendo que $x+y+z$ y $x^{3}+y^{3}+z^{3}$ son números reales.

Sea $A$ un conjunto finito de enteros no negativos. Determina todas las funciones $f:\mathbb{Z}_{\ge 0} \to A$ tales que $f(|x-y|)=|f(x)-f(y)|$ para cada $x,y\in\mathbb Z_{\ge 0}$.

Si $a,b,c>0,a+b+c=1$, entonces: $\frac{1}{abc}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq\frac{13}{ab+bc+ca}$

Sean $P_0, P_1,\ldots, P_{2021}$ puntos en el círculo unitario de centro $O$ tales que para cada $n\in \{1,2,\ldots, 2021\}$ la longitud del arco desde $P_{n-1}$ a $P_n$ (en dirección antihoraria) está en el intervalo $\left[\frac{\pi}2,\pi\right]$. Determina la longitud máxima posible del vector: $\overrightarrow{OP_0}+\overrightarrow{OP_1}+\ldots+\overrightarrow{OP_{2021}}$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con el circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$. Si $OD\parallel AB$, demuestra que $\sin 2B = \cot C$.

Los estudiantes en una clase de $n$ estudiantes tenían que resolver $2^{n-1}$ problemas en un examen. Resultó que para cada par de problemas distintos: • hay al menos un estudiante que ha resuelto ambos • hay al menos un estudiante que ha resuelto uno de ellos, pero no el otro. Demuestra que hay un problema resuelto por todos los estudiantes en la clase.

Resuelve el sistema en reales: $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2022$ y $x+y=\frac{2021}{\sqrt{2022}}$

Demuestra que para todos los números reales positivos $a,b,c$ se cumple la siguiente desigualdad: $(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+7$ y determina todos los casos de igualdad.

En el cuboide $ABCDA'B'C'D'$ con $AB=a$, $AD=b$ y $AA'=c$ tal que $a>b>c>0$, los puntos $E$ y $F$ son las proyecciones ortogonales de $A$ en las líneas $A'D$ y $A'B$, respectivamente, y los puntos $M$ y $N$ son las proyecciones ortogonales de $C$ en las líneas $C'D$ y $C'B$, respectivamente. Sean $DF\cap BE=\{G\}$ y $DN\cap BM=\{P\}$. Demuestra que $(A'AG)\parallel (C'CP)$ y determina la distancia entre estos dos planos; Demuestra que $GP\parallel (ABC)$ y determina la distancia entre la línea $GP$ y el plano $(ABC)$.