Sea $P$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$. La línea $BP$ se encuentra con la línea $AC$ en $E$, y la línea $CP$ se encuentra con la línea $AB$ en $F$. Las líneas $AP$ y $EF$ se intersecan entre sí en $D$. Sea $K$ el pie de la perpendicular desde el punto $D$ a la línea $BC$. Demuestra que la línea $KD$ biseca el ángulo $\angle EKF$.

Defina una secuencia $ < a_n > _{n\geq0}$ por $ a_0 = 0$, $ a_1 = 1$ y \[ a_n = 2a_{n - 1} + a_{n - 2},\] para $ n\geq2.$ $ (a)$ Para cada $ m > 0$ y $ 0\leq j\leq m,$ demuestre que $ 2a_m$ divide a $ a_{m + j} + ( - 1)^ja_{m - j}$. $ (b)$ Suponga que $ 2^k$ divide a $ n$ para algunos números naturales $ n$ y $ k$. Demuestre que $ 2^k$ divide a $ a_n.$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo con altitud $ AK$. Sea $ H$ su ortocentro y $ O$ su circuncentro. Suponga que $ KOH$ es un triángulo acutángulo y $ P$ su circuncentro. Sea $ Q$ la reflexión de $ P$ en la línea $ HO$. Demuestre que $ Q$ se encuentra en la línea que une los puntos medios de $ AB$ y $ AC$.

¿Cuántas 6-tuplas $ (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ hay tales que cada uno de $ a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ es del conjunto $ \{1,2,3,4\}$ y las seis expresiones \[ a_j^2 - a_ja_{j + 1} + a_{j + 1}^2\] para $ j = 1,2,3,4,5,6$ (donde $ a_7$ se debe tomar como $ a_1$ ) son todas iguales entre sí?

Encuentre todos los números reales no nulos $ x, y, z$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: \[ (x^2 + xy + y^2)(y^2 + yz + z^2)(z^2 + zx + x^2) = xyz\] \[ (x^4 + x^2y^2 + y^4)(y^4 + y^2z^2 + z^4)(z^4 + z^2x^2 + x^4) = x^3y^3z^3\]

Encuentre todos los números naturales $ n > 1$ tales que $ n^{2}$ $ \text{no}$ divide a $ (n - 2)!$.

Sea $ ABC$ un triángulo con circuncírculo $ \Gamma$. Sea $ M$ un punto en el interior del triángulo $ ABC$ que también está en la bisectriz de $ \angle A$. Sean $ AM, BM, CM$ intersecando a $ \Gamma$ en $ A_{1}, B_{1}, C_{1}$ respectivamente. Suponga que $ P$ es el punto de intersección de $ A_{1}C_{1}$ con $ AB$; y $ Q$ es el punto de intersección de $ A_{1}B_{1}$ con $ AC$. Demuestre que $ PQ$ es paralelo a $ BC$.

Si $ x$ , $ y$ , $ z$ son números reales positivos, demuestra que \[ \left(x + y + z\right)^2 \left(yz + zx + xy\right)^2 \leq 3\left(y^2 + yz + z^2\right)\left(z^2 + zx + x^2\right)\left(x^2 + xy + y^2\right) .\]

Sea $ ABC$ un triángulo en el que $ AB=AC$ . Sea $ D$ el punto medio de $ BC$ y $ P$ un punto en $ AD$ . Suponga que $ E$ es el pie de la perpendicular de $ P$ sobre $ AC$ . Define \[ \frac{AP}{PD}=\frac{BP}{PE}=\lambda , \ \ \ \frac{BD}{AD}=m , \ \ \ z=m^2(1+\lambda)\] Demuestra que \[ z^2 - (\lambda^3 - \lambda^2 - 2)z + 1 = 0\] Por lo tanto, demuestre que $ \lambda \ge 2$ y $ \lambda = 2$ si y solo si $ ABC$ es equilátero.

Sea $ \sigma = (a_1, a_2, \cdots , a_n)$ una permutación de $ (1, 2 ,\cdots, n)$ . Se dice que un par $ (a_i, a_j)$ corresponde a una inversión de $ \sigma$ si $ i<j$ pero $ a_i>a_j$ . ¿Cuántas permutaciones de $ (1,2,\cdots,n)$ , $ n \ge 3$ , tienen exactamente dos inversiones? Por ejemplo, en la permutación $(2,4,5,3,1)$ , hay 6 inversiones correspondientes a los pares $ (2,1),(4,3),(4,1),(5,3),(5,1),(3,1)$ .