Si $a,b,c$ son lados de un triángulo, prueba que \[ \frac{a}{c+a-b} + \frac{b}{a+b-c} + \frac{c}{b+c-a} \geq 3. \]

Si $p,q,r$ son las raíces de la ecuación cúbica $x^3 - 3px^2 + 3q^2 x - r^3 = 0$, entonces demuestra que $p = q =r$.

Sea $ABCD$ un cuadrado y $M,N$ puntos en los lados $AB, BC$ respectivamente tales que $\angle MDN = 45^{\circ}$. Si $R$ es el punto medio de $MN$, demuestra que $RP =RQ$ donde $P,Q$ son puntos de intersección de $AC$ con las líneas $MD, ND$.

Encuentra el número de enteros positivos que dividen a $10^{999}$ pero no a $10^{998}$.

Demuestra que el inradio de un triángulo rectángulo con lados enteros es un entero.

Cada boleto de lotería tiene un número de 9 dígitos, que utiliza solo los dígitos $1$ , $2$ , $3$ . Cada boleto está coloreado de rojo, azul o verde. Si dos boletos tienen números que difieren en los nueve lugares, entonces los boletos tienen diferentes colores. El boleto $122222222$ es rojo y el boleto $222222222$ es verde. ¿De qué color es el boleto $123123123$?

Sean a, b, c las longitudes de los lados y S el área de un triángulo ABC. Denota $x=a+\frac{b}{2}$ , $y=b+\frac{c}{2}$ y $z=c+\frac{a}{2}$ . Demuestra que existe un triángulo con longitudes de lado x, y, z, y el área de este triángulo es $\geq\frac94 S$.

Encuentra todos los números de $7$ dígitos que usan solo los dígitos $5$ y $7$ y son divisibles por $35$.

Demuestra que $8x^4 - 16x^3 + 16x^2 - 8x + k = 0$ tiene al menos una raíz real para todo $k$ real. Encuentra la suma de las raíces no reales.

Encuentra todos los primos $p,q$ y $n>2$ pares tal que $p^n+p^{n-1}+...+1=q^2+q+1$.