Sea $f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right]$ una función continua y biyectiva, tal que : $f\left(0\right)=0$. Entonces la siguiente desigualdad se cumple: $\left(\alpha+2\right)\cdotp\int_{0}^{1}x^{\alpha}\left(f\left(x\right)+f^{-1}\left(x\right)\right)\leq2,\forall\alpha\geq0 $

Dado un entero positivo $a>2$ a) Demuestra que existe un entero positivo $n$ diferente de $1$, que no es primo, tal que $a^n=1(mod n)$ b) Demuestra que si $p$ es el entero positivo más pequeño, diferente de $1$, tal que $a^p=1(mod p)$, entonces $p$ es un primo. c) No existe un entero positivo $n$, diferente de $1$, tal que $2^n=1(mod n)$

Determina todos los anillos finitos no triviales con un elemento unidad en los que la suma de todos los elementos es invertible.

Encuentra todas las funciones continuas $f:\left[0,1\right]\rightarrow[0,\infty)$ tales que: $\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx\cdotp\int_{0}^{1}f^{2}\left(x\right)dx\cdotp...\cdotp\int_{0}^{1}f^{2020}\left(x\right)dx=\left(\int_{0}^{1}f^{2021}\left(x\right)dx\right)^{1010}$

Sea $n \ge 2$ y matrices $A,B \in M_n(\mathbb{R})$. Existe $x \in \mathbb{R} \backslash \{0,\frac{1}{2}, 1 \} $, tal que $ xAB + (1-x)BA = I_n$. Demuestra que $(AB-BA)^n = O_n$.

Sea $f :\mathbb R \to\mathbb R$ una función $ n \geq 2$ veces diferenciable tal que: $ \lim_{x \to \infty} f(x) = l \in \mathbb R$ y $ \lim_{x \to \infty} f^{(n)}(x) = 0$. Prueba que: $ \lim_{x \to \infty} f^{(k)}(x) = 0 $ para todo $ k \in \{1, 2, \dots, n - 1\} $, donde $f^{(k)}$ es la $ k $ -ésima derivada de $f$.

Sean $n \ge 2$ y $ a_1, a_2, \ldots , a_n $, números reales no nulos no necesariamente distintos. Definimos la matriz $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n} \in M_n( \mathbb{R} )$, $a_{i,j} = max \{ a_i, a_j \} $, $\forall i,j \in \{ 1,2 , \ldots , n \} $. Demuestra que $\mathbf{rank}(A) $ = $\mathbf{card} $ $\{ a_k | k = 1,2, \ldots n \} $

Sea $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ una función con la propiedad del valor intermedio tal que $f(a) * f(b) < 0$. Demuestra que existen $\alpha$, $\beta$ tales que $a < \alpha < \beta < b$ y $f(\alpha) + f(\beta) = f(\alpha) * f(\beta)$.

Determina todos los enteros no nulos $a$ para los cuales existen dos funciones $f,g:\mathbb Q\to\mathbb Q$ tales que $f(x+g(y))=g(x)+f(y)+ay\text{ para todo } x,y\in\mathbb Q.$ Además, determina todos los pares de funciones con esta propiedad.

Sea $n\ge 2$ un entero positivo tal que el conjunto de las $n$ -ésimas raíces de la unidad tiene menos de $2^{\lfloor\sqrt n\rfloor}-1$ subconjuntos con la suma $0$. Demuestra que $n$ es un número primo.