Determina el entero no negativo más pequeño $n$ tal que $\sqrt{(6n+11)(6n+14)(20n+19)}\in\mathbb Q$.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $\angle BAC>90^\circ$. Sean $D$ y $E$ dos puntos en el lado $BC$ tales que $\angle BAD=\angle ACB$ y $\angle CAE=\angle ABC$. La bisectriz del ángulo $\angle ACB$ se encuentra con $AD$ en $N$. Si $MN\parallel BC$, determina $\angle (BM, CN)$.

Resuelve el sistema en reales: $\frac{4-a}{b}=\frac{5-b}{a}=\frac{10}{a^2+b^2}$ .

Sea $\mathcal C$ un círculo centrado en $O$ y $A\ne O$ un punto en su interior. La mediatriz del segmento $OA$ se encuentra con $\mathcal C$ en los puntos $B$ y $C$, y las líneas $AB$ y $AC$ se encuentran con $\mathcal C$ nuevamente en $D$ y $E$, respectivamente. Demuestra que los círculos $(OBC)$ y $(ADE)$ tienen el mismo centro.

Determina el máximo valor real posible del número $k$, tal que \[ (a + b + c)\left (\frac {1}{a + b} + \frac {1}{c + b} + \frac {1}{a + c} - k \right )\ge k\] para todos los números reales $a,b,c\ge 0$ con $a + b + c = ab + bc + ca$.

Encuentra todos los pares $ (m,n)$ de números enteros $m,n > 1$ con la propiedad de que $mn - 1\mid n^3 - 1$.

Sean $m,n$ dos números naturales no nulos y conjuntos $A = \{ 1,2,...,n\}, B = \{1,2,...,m\}$. Decimos que un subconjunto $S$ del producto cartesiano $A \times B$ tiene la propiedad $ (j)$ si $ (a - x)(b - y)\le 0$ para cada par $ (a,b),(x,y) \in S$. Demuestra que cada conjunto $S$ con la propiedad $ (j)$ tiene a lo sumo $m + n - 1$ elementos.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con lados opuestos no paralelos. La recta que pasa por $A$ paralela a $BD$ interseca a la recta $CD$ en $F$, pero la paralela que pasa por $D$ a $AC$ interseca a la recta $AB$ en $E$. Denotemos por $M,N,P,Q$ los puntos medios de los segmentos $AC,BD,AF,DE$. Demuestra que las rectas $MN,PQ$ y $AD$ son concurrentes.

Sea $d$ una recta y puntos $M,N$ en $d$. Círculos $ \alpha,\beta,\gamma,\delta$ con centros $A,B,C,D$ son tangentes a $d$, los círculos $ \alpha,\beta$ son tangentes externamente en $M$, y los círculos $ \gamma,\delta$ son tangentes externamente en $N$. Los puntos $A,C$ están situados en el mismo semiplano, determinado por $d$. Demuestra que si existe un círculo, que es tangente a los círculos $ \alpha,\beta,\gamma,\delta$ y los contiene en su interior, entonces las rectas $AC,BD,MN$ son concurrentes o paralelas.

Resuelve en números primos $2p^q - q^p = 7$.