Sean $ m$ y $ n$ enteros positivos tales que $ x^2 - mx +n = 0$ tiene raíces reales $ \alpha$ y $ \beta$ . Demuestra que $ \alpha$ y $ \beta$ son enteros si y solo si $ [m\alpha] + [m\beta]$ es el cuadrado de un entero. (Aquí $ [x]$ denota el entero más grande que no excede $ x$ )

Sea $ n$ un número natural tal que $ n = a^2 + b^2 +c^2$ para algunos números naturales $ a,b,c$ . Demuestra que \[ 9n = (p_1a+q_1b+r_1c)^2 + (p_2a+q_2b+r_2c)^2 + (p_3a+q_3b+r_3c)^2\] donde $ p_j$ ' s , $ q_j$ ' s , $ r_j$ ' s son todos enteros no nulos. Además, si $ 3$ no divide al menos a uno de $ a,b,c,$ demuestra que $ 9n$ se puede expresar en la forma $ x^2+y^2+z^2$ , donde $ x,y,z$ son números naturales ninguno de los cuales es divisible por $ 3$ .

En un triángulo $ ABC$ rectángulo en $ C$ , la mediana a través de $ B$ biseca el ángulo entre $ BA$ y la bisectriz de $ \angle B$ . Demuestra que \[ \frac{5}{2} < \frac{AB}{BC} < 3\]

Para cualquier número real $x$, sea $\lfloor x \rfloor$ la parte entera de $x$; $\{ x \}$ la parte fraccionaria de $x$ ( $\{x\}$ $=$ $x-$ $\lfloor x \rfloor$ ). Sea $A$ el conjunto de todos los números reales $x$ que satisfacen $$\displaystyle{ \{x\} =\frac{x+\lfloor x \rfloor +\lfloor x + (1/2) \rfloor }{20} }$$ Si $S$ es la suma de todos los números en $A$, encuentra $\lfloor S \rfloor$

En el paralelogramo $ABCD$, $AC=10$ y $BD=28$. Los puntos $K$ y $L$ en el plano de $ABCD$ se mueven de tal manera que $AK=BD$ y $BL=AC$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $CK$ y $DL$, respectivamente. ¿Cuál es el valor máximo de $\cot^2 (\tfrac{\angle BMD}{2})+\tan^2(\tfrac{\angle ANC}{2})$?

Considere el conjunto $E$ de todos los enteros positivos $n$ tales que cuando se dividen por $9,10,11$ respectivamente, los restos (en ese orden) son todos $>1$ y forman una progresión geométrica no constante. Si $N$ es el elemento más grande de $E$, encuentre la suma de los dígitos de $E$

¿Cuántos números de $4$ dígitos $\overline{abcd}$ hay tales que $a<b<c<d$ y $b-a<c-b<d-c$?

Si $15$ y $9$ son las longitudes de dos medianas de un triángulo, ¿cuál es el área máxima posible del triángulo al entero más cercano?

¿Cuál es el número primo más pequeño $p$ tal que $p^3+4p^2+4p$ tiene exactamente $30$ divisores positivos?

Sea $s(n)$ denota la suma de los dígitos de un entero positivo $n$ en base $10$ . Si $s(m)=20$ y $s(33m)=120$ , ¿cuál es el valor de $s(3m)$ ?