En un cuadrilátero convexo $PQRS$ , las áreas de los triángulos $PQS$ , $QRS$ y $PQR$ están en la razón $3:4:1$ . Una línea que pasa por $Q$ corta a $PR$ en $A$ y a $RS$ en $B$ tal que $PA:PR=RB:RS$ . Demuestra que $A$ es el punto medio de $PR$ y $B$ es el punto medio de $RS$ .

Sea $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ una función que satisface $f(0) \ne 0$ , $f(1) = 0$ y $(i) f(xy) + f(x)f(y) = f(x) + f(y)$ $(ii)\left(f(x-y) - f(0)\right ) f(x)f(y) = 0 $ para todo $x,y \in \mathbb{Z}$ , simultáneamente. $(a)$ Encuentre el conjunto de todos los valores posibles de la función $f$ . $(b)$ Si $f(10) \ne 0$ y $f(2) = 0$ , encuentre el conjunto de todos los enteros $n$ tales que $f(n) \ne 0$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D,E,F$ puntos en $BC, CA, AB$ tales que $AD$ es la mediana, $BE$ es la bisectriz interna y $CF$ es la altura. Suponga que $\angle FDE=\angle C, \angle DEF=\angle A$ y $\angle EFD=\angle B.$ Muestre que $ABC$ es equilátero.

Sea $ABC$ un triángulo. Se dice que un punto interior $P$ de $ABC$ es bueno si podemos encontrar exactamente $27$ rayos que emanan de $P$ e intersecan los lados del triángulo $ABC$ de tal manera que el triángulo está dividido por estos rayos en $27$ triángulos más pequeños de igual área. Determine el número de puntos buenos para un triángulo $ABC$ dado.

Defina una secuencia $<f_0 (x), f_1 (x), f_2 (x), \dots>$ de funciones por $$f_0 (x) = 1$$ $$f_1(x)=x$$ $$(f_n(x))^2 - 1 = f_{n+1}(x) f_{n-1}(x)$$ para $n \ge 1$. Demuestre que cada $f_n (x)$ es un polinomio con coeficientes enteros.

Sean $p_1<p_2<p_3<p_4$ y $q_1<q_2<q_3<q_4$ dos conjuntos de números primos, tales que $p_4 - p_1 = 8$ y $q_4 - q_1= 8$. Suponga que $p_1 > 5$ y $q_1>5$. Demuestre que $30$ divide a $p_1 - q_1$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo. Suponga que $AB=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ y $AB$ subtiende $135$ grados en el centro del círculo. Encuentre el área máxima posible de $ABCD$.

Sea $AB$ el diámetro de un círculo $\Gamma$ y sea $C$ un punto en $\Gamma$ diferente de $A$ y $B$ . Sea $D$ el pie de la perpendicular de $C$ a $AB$ . Sea $K$ un punto en el segmento $CD$ tal que $AC$ es igual al semi perímetro de $ADK$ . Demuestre que la circunferencia exinscrita de $ADK$ opuesta a $A$ es tangente a $\Gamma$ .

Tengo 6 amigos y durante unas vacaciones me reuní con ellos durante varias cenas. Descubrí que cené con los 6 exactamente en 1 día; con cada 5 de ellos en 2 días; con cada 4 de ellos en 3 días; con cada 3 de ellos en 4 días; con cada 2 de ellos en 5 días. Además, cada amigo estuvo presente en 7 cenas y cada amigo estuvo ausente en 7 cenas. ¿Cuántas cenas tuve solo?

En un grupo de diez personas, a cada persona se le pide que escriba la suma de las edades de las otras nueve personas. De las diez sumas se forma el conjunto de nueve elementos $\{ 82, 83,84,85,87,89,90,91,92 \}$, hallar las edades individuales de las personas, asumiendo que son números enteros.