Las alturas $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ del $\triangle{ABC}$ se intersecan en $H$ . $O$ es el circuncentro del $\triangle{ABC}$ . Sea $A_2$ la reflexión de $A$ con respecto a $B_1C_1$ . Demuestra que: a ) $O$ , $A_2$ , $B_1$ , $C$ están todos en una circunferencia b ) $O$ , $H$ , $A_1$ , $A_2$ están todos en una circunferencia

En cada cuadrado de 1x1 de un tablero de nxn escribimos $n^2$ números con suma S. Un movimiento consiste en elegir un cuadrado de 2x2 y sumar 1 a tres números(de tres cuadrados diferentes de 1x1). Decimos que un número n es bueno si podemos hacer que todos los números en el tablero sean iguales aplicando un número sucesivo de movimientos y no depende de S. a) Muestra que 6 no es bueno b) Muestra que 4 y 1024 son buenos

ABCD=cuadrilátero cíclico , $AC\cap BD=X$ AA ' $\perp $ B D,A ' $\in$ B D CC ' $\perp $ B D,C ' $\in$ B D BB ' $\perp $ A C,B ' $\in$ A C DD ' $\perp $ A C,D ' $\in$ A C Demuestra que: a)Demuestra que las perpendiculares desde los puntos medios de los lados a los lados opuestos son concurrentes. El punto se llama Punto de Mathot b)A',B',C',D' son concíclicos c)Si O'=circuncentro de (A'B'C') demuestra que O'=punto medio de la línea que conecta el ortocentro del triángulo XAB y XCD d)O' es el Punto de Mathot

x,y son números reales diferentes de 0 tales que : $x^3+y^3+3x^2y^2=x^3y^3$ Encuentra todos los valores posibles de E = $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$

Sea $n$ un entero positivo y considera el sistema \begin{align*} S(n):\begin{cases} x^2+ny^2=z^2\\ nx^2+y^2=t^2 \end{cases}, \end{align*} donde $x,y,z$ , y $t$ son naturales. Si $M_1=\{n\in\mathbb N:$ el sistema $S(n)$ tiene infinitas soluciones $\}$ , y $M_1=\{n\in\mathbb N:$ el sistema $S(n)$ no tiene soluciones $\}$ , demuestra que $7 \in M_1$ y $10 \in M_2$ . los conjuntos $M_1$ y $M_2$ son infinitos.

Tenemos un tablero de 4x4. Todos los cuadrados de 1x1 son blancos. Un movimiento consiste en cambiar los colores de todos los cuadrados de un rectángulo de 1x3 de negro a blanco y de blanco a negro. ¿Es posible hacer que todos los cuadrados de 1x1 sean negros después de varios movimientos?

Sea $n$ un entero mayor que $2$ y considera el conjunto \begin{align*} A = \{2^n-1,3^n-1,\dots,(n-1)^n-1\}. \end{align*} Dado que $n$ no divide a ningún elemento de $A$ , demuestra que $n$ es un número libre de cuadrados. ¿Se sigue necesariamente que $n$ es primo?

a,b,c>0 y $abc\ge 1$ . Demuestra que: $\dfrac{1}{a^3+2b^3+6}+\dfrac{1}{b^3+2c^3+6}+\dfrac{1}{c^3+2a^3+6} \le \dfrac{1}{3}$

Triángulo $\triangle{ABC}$ , O=circuncentro de (ABC),OA=R,la A-excircunferencia interseca a (AB),(BC),(CA) en los puntos F,D,E. Si la A-excircunferencia tiene radio R, demuestra que $OD\perp EF$

Sea n $\ge$ 2 .Cada cuadrado de 1x1 de un tablero de nxn está coloreado de blanco o negro tal que cada cuadrado negro tiene al menos 3 vecinos blancos(Dos cuadrados son vecinos si tienen un lado en común).¿Cuál es el máximo número de cuadrados negros?