Para cualquier entero $n\ge 2$, sea $N(n)$ el número máximo de triples $(a_j,b_j,c_j),j=1,2,3,\cdots ,N(n),$ consistiendo de enteros no negativos $a_j,b_j,c_j$ (no necesariamente distintos) tales que las siguientes dos condiciones se satisfacen: (a) $a_j+b_j+c_j=n,$ para todo $j=1,2,3,\cdots N(n)$ ; (b) Si $j\neq k$, entonces $a_j\neq a_k$, $b_j\neq b_k$ y $c_j\neq c_k$. Determine $N(n)$ para todo $n\ge 2$.

Dos polinomios $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ y $Q(x)=x^2+px+q$ tienen coeficientes reales, e $I$ es un intervalo en la recta real de longitud mayor que $2$. Suponga que $P(x)$ y $Q(x)$ toman valores negativos en $I$, y toman valores no negativos fuera de $I$. Demuestre que existe un número real $x_0$ tal que $P(x_0)<Q(x_0)$.

Sea $ABC$ un triángulo en el cual $BC<AC$. Sea $M$ el punto medio de $AB$, $AP$ la altura desde $A$ sobre $BC$, y $BQ$ la altura desde $B$ sobre $AC$. Suponga que $QP$ extendido se encuentra con $AB$ (extendido) en $T$. Si $H$ es el ortocentro de $ABC$, demuestre que $TH$ es perpendicular a $CM$.

Un disco circular está dividido en $12$ sectores iguales y se utiliza uno de $6$ colores diferentes para colorear cada sector. No puede haber dos sectores adyacentes con el mismo color. Encuentra el número de tales coloraciones distintas posibles.

El perímetro de $\triangle ABC$ es $2$ y sus lados son $BC=a, CA=b,AB=c$ . Demuestra que $$abc+\frac{1}{27}\ge ab+bc+ca-1\ge abc. $$

Encuentra todas las ternas de enteros positivos $(x, y, z) $ que satisfacen la ecuación $$x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-63.$$

Un concurso de matemáticas consta de $9$ preguntas de tipo objetivo y $6$ preguntas de completar los espacios en blanco. De una escuela, un número de estudiantes tomaron la prueba y se observó que todos los estudiantes habían intentado exactamente $14$ de $15$ preguntas. Sean $O_1, O_2, \dots , O_9$ las nueve preguntas objetivas y $F_1, F_2, \dots , F_6$ las seis preguntas de completar los espacios en blanco. Sea $a_{ij}$ el número de estudiantes que intentaron ambas preguntas $O_i$ y $F_j$ . Si la suma de todos los $a_{ij}$ para $i=1, 2,\dots , 9$ y $j=1, 2,\dots , 6$ es $972$ , entonces encuentra el número de estudiantes que tomaron la prueba en la escuela.

En la figura, $BC$ es un diámetro del círculo, donde $BC=\sqrt{257}$ , $BD=1$ y $DA=12$ . Encuentra la longitud de $EC$ y, por lo tanto, encuentra la longitud de la altitud desde $A$ a $BC$ .

Encuentra el número de permutaciones $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8$ de los enteros $-3, -2, -1, 0,1,2,3,4$ que satisfacen la cadena de desigualdades $$x_1x_2\le x_2x_3\le x_3x_4\le x_4x_5\le x_5x_6\le x_6x_7\le x_7x_8.$$

Dados números reales positivos $a, b, c, d$ tales que $cd=1$ . Demuestra que existe al menos un entero positivo $m$ tal que $$ab\le m^2\le (a+c) (b+d). $$