Olimpiada India IMO Training Camp 2005 Problema 5
Sea $\tau(n)$ denote el número de divisores positivos del entero positivo $n$. Demuestre que existen infinitos enteros positivos $a$ tales que la ecuación $\tau(an)=n$ no tiene una solución entera positiva $n$.
Olimpiada India IMO Training Camp 2005 Problema 4
Considere un polígono de $n$ lados inscrito en un círculo ($n \geq 4$). Divida el polígono en $n-2$ triángulos usando diagonales no intersecantes. Demuestre que, independientemente de la triangulación, la suma de los inradios de los triángulos es una constante.
Olimpiada de Entrenamiento de India IMO 2010 Problema 12
Demuestre que hay infinitamente muchos enteros positivos $m$ para los cuales existen enteros positivos impares consecutivos $p_m<q_m$ tales que $p_m^2+p_mq_m+q_m^2$ y $p_m^2+m\cdot p_mq_m+q_m^2$ son ambos cuadrados perfectos. Si $m_1, m_2$ son dos enteros positivos satisfaciendo esta condición, entonces tenemos $p_{m_1}\neq p_{m_2}$
Olimpiada de Entrenamiento de India IMO 2010 Problema 11
Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ tales que $f(x+y)+xy=f(x)f(y)$ para todos los reales $x, y$
Olimpiada de Entrenamiento de India IMO 2010 Problema 10
Sea $ABC$ un triángulo. Sea $\Omega$ el punto de Brocard. Demuestre que $\left(\frac{A\Omega}{BC}\right)^2+\left(\frac{B\Omega}{AC}\right)^2+\left(\frac{C\Omega}{AB}\right)^2\ge 1$
Olimpiada de Entrenamiento de India IMO 2010 Problema 9
Sea $A=(a_{jk})$ un arreglo de $10\times 10$ de números reales positivos tales que la suma de los números en cada fila así como en cada columna es $1$. Muestre que existe $j<k$ y $l<m$ tal que \\[a_{jl}a_{km}+a_{jm}a_{kl}\ge \frac{1}{50}\]
Olimpiada de Entrenamiento de India IMO 2010 Problema 8
Llame a un entero positivo bueno si ya sea $N=1$ o $N$ puede ser escrito como producto de un número par de números primos, no necesariamente distintos. Sea $P(x)=(x-a)(x-b),$ donde $a,b$ son enteros positivos. (a) Muestre que existen distintos enteros positivos $a,b$ tales que $P(1),P(2),\cdots ,P(2010)$ son todos números buenos. (b) Suponga que $a,b$ son tales que $P(n)$ es un número bueno para todo entero positivo $n$. Demuestre que $a=b$.
Olimpiada de Entrenamiento de India IMO 2010 Problema 7
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sea $E$ el punto de intersección de sus diagonales $AC$ y $BD$. Suponga que $AD$ y $BC$ se encuentran en $F$. Sean los puntos medios de $AB$ y $CD$ sean $G$ y $H$ respectivamente. Si $\Gamma $ es la circunferencia circunscrita del triángulo $EGH$, demuestre que $FE$ es tangente a $\Gamma $ .
Olimpiada de Entrenamiento de India IMO 2010 Problema 6
Sea $n\ge 2$ un entero dado. Demuestre que el número de cadenas de longitud $n$ consistiendo de $0'$s y $1'$s tales que hay igual número de bloques $00$ y $11$ en cada cadena es igual a \\[2\binom{n-2}{\left \lfloor \frac{n-2}{2}\right \rfloor}\]
Olimpiada de Entrenamiento de India IMO 2010 Problema 5
Dado un entero $k>1$, muestre que existe un entero $n>1$ y distintos enteros positivos $a_1,a_2,\cdots a_n$, todos mayores que $1$, tales que las sumas $\sum_{j=1}^n a_j$ y $\sum_{j=1}^n \phi (a_j)$ son ambas potencias $k$ -ésimas de algunos enteros. (Aquí $\phi (m)$ denota el número de enteros positivos menores que $m$ y relativamente primos a $m$. )