Sean $a,b,c>0$ números reales con suma 1. Demuestre que \[ \frac{a^2}b + \frac{b^2}c + \frac{c^2} a \geq 3(a^2+b^2+c^2) . \]

Sea $ABC$ un triángulo y $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ los puntos medios de los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente. Demuestre que si $M$ es un punto en el plano del triángulo tal que \[ \frac{MA}{MA_1} = \frac{MB}{MB_1} = \frac{MC}{MC_1} = 2 , \] entonces $M$ es el centroide del triángulo.

Sea $A=\{1,2,\ldots, 2006\}$ . Encuentre el número máximo de subconjuntos de $A$ que se pueden elegir de tal manera que la intersección de dos subconjuntos distintos cualesquiera tenga 2004 elementos.

Demuestre que el conjunto de los números reales se puede particionar en conjuntos (disjuntos) de dos elementos cada uno.

Encuentre todos los números reales $ a$ y $ b$ tales que \[ 2(a^2 + 1)(b^2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1). \]

Demuestre que para todos los números reales positivos $a,b,c$ se cumple la siguiente desigualdad \[ \left( \frac ab + \frac bc + \frac ca \right)^2 \geq \frac 32 \cdot \left ( \frac{a+b}c + \frac{b+c}a + \frac{c+a} b \right) . \]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico de área 8. Si existe un punto $O$ en el plano del cuadrilátero tal que $OA+OB+OC+OD = 8$ , demuestre que $ABCD$ es un trapecio isósceles.

Un arreglo de $7\times 7$ se divide en $49$ cuadrados unitarios. Encuentre todos los enteros $n \in N^*$ para los cuales se pueden colocar $n$ fichas en los cuadrados unitarios de manera que cada fila y cada línea tengan un número par de fichas. ( $0$ es un número par, por lo que pueden existir filas o columnas vacías. Un cuadrado puede estar ocupado por como máximo $1$ ficha).

Sea $C (O)$ un círculo (con centro $O$ ) y $A, B$ puntos en el círculo con $\angle AOB = 90^o$ . Los círculos $C_1 (O_1)$ y $C_2 (O_2)$ son tangentes internamente con el círculo $C$ en $A$ y $B$ , respectivamente, y, también, son tangentes entre sí. Considere otro círculo $C_3 (O_3)$ tangente externamente a los círculos $C_1, C_2$ y tangente internamente al círculo $C$ , ubicado dentro del ángulo $\angle AOB$ . Demuestre que los puntos $O, O_1, O_2, O_3$ son los vértices de un rectángulo.

Demuestre que $\frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ba} \ge a + b + c$ , para todos los números reales positivos $a, b$ , y $c$ .