Suponga que $P$ es el polinomio de menor grado con coeficientes enteros tal que $$P(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = 2(\sqrt{7} - \sqrt{5})$$ Encuentre $P(2)$.

Sea $P_0 = (3,1)$ y defina $P_{n+1} = (x_n, y_n)$ para $n \ge 0$ por $$x_{n+1} = - \frac{3x_n - y_n}{2}, y_{n+1} = - \frac{x_n + y_n}{2}$$ Encuentre el área del cuadrilátero formado por los puntos $P_{96}, P_{97}, P_{98}, P_{99}$.

Para cualquier número real $t$, sea $\lfloor t \rfloor$ denote el entero más grande $\le t$. Suponga que $N$ es el entero más grande tal que $$\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{N} \right \rfloor}\right \rfloor}\right \rfloor = 4$$ Encuentre la suma de los dígitos de $N$.

Encuentre el número de funciones $f: \{1,2,3\} \rightarrow \{1,2,3,4,5\}$ tal que $f(i) \le f(j)$ siempre que $i < j$.

Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $x^2 + y^2 = 49, y^2 + yz + z^2 = 36$ y $x^2 + \sqrt{3}xz + z^2 = 25$. Si el valor de $2xy + \sqrt{3}yz + zx$ se puede escribir como $p \sqrt{q}$ donde $p,q \in \mathbb{Z}$ y $q$ está libre de cuadrados, encuentre $p+q$.

En el paralelogramo $ABCD$, el lado más largo es el doble del lado más corto. Sea $XYZW$ el cuadrilátero formado por las bisectrices internas de los ángulos de $ABCD$. Si el área de $XYZW$ es $10$, encuentre el área de $ABCD$.

Considere el conjunto de todos los números de 6 dígitos que constan de solo tres dígitos, $a,b,c$ donde $a,b,c$ son distintos. Suponga que la suma de todos estos números es $593999406$. ¿Cuál es el residuo más grande cuando el número de tres dígitos $abc$ se divide por $100$?

Considere el conjunto $\mathcal{T}$ de todos los triángulos cuyos lados son números primos distintos que también están en progresión aritmética. Sea $\triangle \in \mathcal{T}$ el triángulo con el perímetro más pequeño. Si $a^{\circ}$ es el ángulo más grande de $\triangle$ y $L$ es su perímetro, determine el valor de $\frac{a}{L}$.

Ria escribe los números $1,2,\cdots, 101$ con bolígrafos rojos y azules. El número azul más grande es igual al número de números escritos en azul y el número rojo más pequeño es igual a la mitad del número de números en rojo. ¿Cuántos números escribió Ria con un bolígrafo rojo?

Tres líneas paralelas $L_1, L_2, L_3$ se dibujan en el plano de tal manera que la distancia perpendicular entre $L_1$ y $L_2$ es $3$ y la distancia perpendicular entre las líneas $L_2$ y $L_3$ también es $3$. Se construye un cuadrado $ABCD$ tal que $A$ se encuentra en $L_1$, $B$ se encuentra en $L_3$ y $C$ se encuentra en $L_2$. Encuentra el área del cuadrado.