Sean $A$ y $B$ puntos en un círculo $\mathcal{C}$ con centro $O$ tal que $\angle AOB = \dfrac {\pi}2$ . Los círculos $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son internamente tangentes a $\mathcal{C}$ en $A$ y $B$ respectivamente y también son externamente tangentes entre sí. El círculo $\mathcal{C}_3$ se encuentra en el interior de $\angle AOB$ y es tangente externamente a $\mathcal{C}_1$ , $\mathcal{C}_2$ en $P$ y $R$ e internamente tangente a $\mathcal{C}$ en $S$ . Evalúa el valor de $\angle PSR$ .

Sea $ ABCD $ un cuadrilátero cíclico y sea $ M $ el conjunto de incentros y excentros de los triángulos $ BCD $ , $ CDA $ , $ DAB $ , $ ABC $ (así que 16 puntos en total). Demuestra que existen dos conjuntos $ \mathcal{K} $ y $ \mathcal{L} $ de cuatro líneas paralelas cada uno, tales que cada línea en $ \mathcal{K} \cup \mathcal{L} $ contiene exactamente cuatro puntos de $ M $ .

Sean $ x,y\in \mathbb{R} $ . Muestra que si el conjunto $ A_{x,y}=\{ \cos {(n\pi x)}+\cos {(n\pi y)} \mid n\in \mathbb{N}\} $ es finito entonces $ x,y \in \mathbb{Q} $ .

Encuentra el mayor entero positivo $n$ para el cual existen $n$ enteros no negativos $x_1, x_2,\ldots , x_n$ , no todos cero, tales que para cualesquiera $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ del conjunto $\{-1, 0, 1\}$ , no todos cero, $\varepsilon_1 x_1 + \varepsilon_2 x_2 + \cdots + \varepsilon_n x_n$ no es divisible por $n^3$ .

Sea $ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ una función tal que para cada $ n $ - gono regular $ A_1A_2 \ldots A_n $ tenemos $ f(A_1)+f(A_2)+\cdots +f(A_n)=0 $ . Demuestra que $ f(x)=0 $ para todos los reales $ x $ .

Para un entero positivo $n$ denote $r(n)$ el número que tiene los dígitos de $n$ en orden inverso - por ejemplo, $r(2006) = 6002$ . Demuestre que para cualquier entero positivo a y b los números $4a^2 + r(b)$ y $4b^2 + r(a)$ no pueden ser simultáneamente cuadrados.

Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $\frac{1}{1 + x}+\frac{1}{1 + y}+\frac{1}{1 + z}= 2$ . Demuestre que $8xyz \le 1$ .

Considere los enteros $a_1, a_2, a_3, a_4, b_1, b_2, b_3, b_4$ con $a_k \ne b_k$ para todo $k = 1, 2, 3, 4$ . Si $\{a_1, b_1\} + \{a_2, b_2\} = \{a_3, b_3\} + \{a_4, b_4\}$ , demuestre que el número $|(a_1 - b_1)(a_2 - b_2)(a_3 - b_3)(a_4 - b_4)|$ es un cuadrado. Nota. Para cualquier conjunto $A$ y $B$ , denotamos $A + B = \{x + y | x \in A, y \in B\}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ un punto dentro del triángulo, ubicado en la mediana de $A$ . Demuestre que si $\angle BDC = 180^o - \angle BAC$ , entonces $AB \cdot CD = AC \cdot BD$ .

El conjunto de los enteros positivos se particiona en subconjuntos con infinitos elementos cada uno. La pregunta (en cada uno de los siguientes casos) es si existe un subconjunto en la partición tal que cualquier entero positivo tiene un múltiplo en este subconjunto. a) Demuestre que si el número de subconjuntos en la partición es finito, la respuesta es sí. b) Demuestre que si el número de subconjuntos en la partición es infinito, entonces la respuesta puede ser no (para una cierta partición).