Para números reales $a,b,c,d$ no todos iguales a $0$, defina una función real $f(x) = a +b\cos{2x} + c\sin{5x} +d \cos{8x}$. Suponga que $f(t) = 4a$ para algún real $t$. Demuestre que existe un número real $s$ s.t. $f(s)<0$

Determine todos los enteros positivos $n > 2$, tales que \[ \frac{1}{2} \varphi(n) \equiv 1 ( \bmod 6) \]

Para un triángulo ABC dado, sea X un punto variable en la línea BC tal que el punto C se encuentre entre los puntos B y X. Demuestre que el eje radical de los incírculos de los triángulos ABX y ACX pasa por un punto independiente de X.

Considere una matriz de tamaño $n\times n$ cuyas entradas son números reales de valor absoluto que no exceden $1$. La suma de todas las entradas de la matriz es $0$. Sea $n$ un entero positivo par. Determine el número mínimo $C$ tal que cada matriz de este tipo necesariamente tiene una fila o una columna con la suma de sus entradas que no exceda $C$ en valor absoluto.

Dados números reales $a,\alpha,\beta, \sigma \ y \ \varrho$ s.t. $\sigma, \varrho > 0$ y $\sigma \varrho = \frac{1}{16}$, demuestre que existen enteros $x$ e $y$ s.t. \[ - \sigma \leq (x+\alpha_(ax + y + \beta ) \leq \varrho \]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las líneas paralelas a $AD$ y $CD$ a través del ortocentro $H$ de $ABC$ intersecan $AB$ y $BC$ respectivamente en $P$ y $Q$. Demuestre que la perpendicular a través de $H$ a la línea $PQ$ pasa a través del ortocentro del triángulo $ACD$

Un camino merida de orden $2n$ es un camino reticular en el primer cuadrante del plano $xy$ que une $(0,0)$ a $(2n,0)$ usando tres tipos de pasos $U=(1,1)$, $D= (1,-1)$ y $L= (2,0)$, es decir, $U$ une $x,y)$ a $(x+1,y+1)$ etc... Un ascenso en un camino merida es una cadena máxima de pasos consecutivos de la forma $U$. Si $S(n,k)$ denota el número de caminos merdia de orden $2n$ con exactamente $k$ ascensos, calcule $S(n,1)$ y $S(n,n-1)$.

Encuentre todas las funciones $ f: \mathbb{N^{*}}\to \mathbb{N^{*}}$ que satisfacen \[ \left(f^{2}\left(m\right)+f\left(n\right)\right) \mid \left(m^{2}+n\right)^{2}\] para cualquier par de enteros positivos $m$ y $n$.\n\nObservación. La abreviatura $\mathbb{N^{*}}$ representa el conjunto de todos los enteros positivos: $\mathbb{N^{*}}=\left\{1,2,3,...\right\}$. Por $f^{2}\left(m\right)$, queremos decir $\left(f\left(m\right)\right)^{2}$ (y no $f\left(f\left(m\right)\right)$).

Sean $0 <a <b$ dos números racionales. Sea $M$ un conjunto de números reales positivos con las propiedades: (i) $a \in M$ y $b \in M$ ; (ii) si $x$ $\in M$ y $y \in M$, entonces $\sqrt{xy} \in M$. Sea $M^*$ denote el conjunto de todos los números irracionales en $M$. Demuestre que cada $c,d$ tal que $a <c <d<b$, $M^*$ contiene un elemento $m$ con la propiedad $c<m<d$

Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes están en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes ($m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentre todos los valores posibles de $k$.