Sea $ ABC $ un triángulo en el que $ O,I, $ son el circuncentro, respectivamente, el incentro. Los mediadores de $ IA,IB,IC, $ forman un triángulo $ A_1B_1C_1. $ Demostrar que $ \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA_1} +\overrightarrow{OA_2} +\overrightarrow{OA_3} . $

Sean $ A_1,B_1,C_1 $ los pies de las alturas de un triángulo acutángulo $ ABC. $ En los segmentos $ B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1, $ tome los puntos $ X,Y, $ respectivamente, $ Z, $ tales que $$ \left\{\begin{matrix}\frac{C_1X}{XB_1} =\frac{b\cos\angle BCA}{c\cos\angle ABC} \\ \frac{A_1Y}{YC_1} =\frac{c\cos\angle BAC}{a\cos\angle BCA} \\ \frac{B_1Z}{ZA_1} =\frac{a\cos\angle ABC}{b\cos\angle BAC} \end{matrix}\right. . $$ Demostrar que $ AX,BY,CZ, $ son concurrentes.

Una hormiga puede moverse desde un vértice de un cubo al lado opuesto de su diagonal sólo en las aristas y las diagonales de las caras de tal manera que no traspase por segunda vez el camino recorrido. Encontrar la distancia del viaje máximo que esta hormiga puede hacer.

a) Demostrar que la expresión $ x^3-5x^2+8x-4 $ no es negativa, para todo $ x\in [1,\infty ) . $ b) Determinar $ \min_{a,b\in [1,\infty )} \left( ab(a+b-10) +8(a+b) \right) . $

Sea $ ABCDA’B’C’D’ $ un cubo. $ M,P $ son los puntos medios de $ AB, $ respectivamente, $ DD’. $ a) Demostrar que $ MP, A’C $ son perpendiculares, pero no coplanares. b) Calcular la distancia entre las líneas anteriores.

a) Sean $ m,n,p\in\mathbb{Z}_{\ge 0} $ tales que $ m>n $ y $ \sqrt{m} -\sqrt n=p. $ Probar que $ m $ y $ n $ son cuadrados perfectos. b) Encontrar los números de cuatro dígitos $ \overline{abcd} $ que satisfacen la ecuación: $$ \sqrt {\overline{abcd} } -\sqrt{\overline{acd}} =\overline{bb} . $$

Tenemos un triángulo con $ \angle BAC=\angle BCA. $ El punto $ E $ está en la bisectriz interior de $ \angle ABC $ de modo que $ \angle EAB =\angle ACB. $ Sea $ D $ un punto en $ BC $ tal que $ B $ está en el segmento $ CD $ (extremos excluidos) y $ BD=AB. $ Demostrar que el punto medio de $ AC $ está en la línea $ DE. $

En el lado $ CD $ del cuadrado $ ABCD, $ considere $ E $ para el cual $ \angle ABE =60^{\circ } . $ En la línea $ AB, $ tome el punto $ F $ distinto de $ B $ tal que $ BE=BF $ y tal que esté en el segmento $ AB, $ o $ A $ está en $ BF. $ Además, $ M $ es la intersección de $ EF,AD. $ a) Demostrar que $ \angle BME =75^{\circ } . $ b) Si la bisectriz de $ \angle CBE $ intersecta $ CD $ en $ N, $ demostrar que $ BMN $ es equilátero.

Sea $ E(x,y)=\frac{x}{y} +\frac{x+1}{y+1} +\frac{x+2}{y+2} . $ a) Resolver en $ \mathbb{N}^2 $ la ecuación $ E(x,y)=3. $ b) Demostrar que existen infinitos números naturales $ n $ tales que la ecuación $ E(x,y)=n $ tiene al menos una solución en $ \mathbb{N}^2. $

Sea $ n\ge 3 $ un número natural con la propiedad de que $ 1+3n $ es un cuadrado perfecto. Demostrar que existen tres números naturales $ a,b,c, $ tales que el número $$ 1+\frac{3n+3}{a^2+b^2+c^2} $$ es un cuadrado perfecto.