Encuentra todas las ternas $a,b,c$ de enteros positivos tales que \[ ( 1 + \frac{1}{a} ) ( 1 + \frac{1}{b}) ( 1 + \frac{1}{c} ) = 3. \]

Los lados de un triángulo son tres enteros consecutivos y su inradio es $4$. Encuentra el circunradio.

Se desea elegir $n$ enteros de la colección de $2n$ enteros, a saber, $0,0,1,1,2,2,\ldots,n-1,n-1$ tales que el promedio de estos $n$ enteros elegidos sea un entero y sea lo más mínimo posible. Demuestre que esto se puede hacer para cada entero positivo $n$ y encuentre este valor mínimo para cada $n$.

Suponga que $a,b,c$ son tres números reales tales que la ecuación cuadrática \n\[ x^2 - (a +b +c )x + (ab +bc +ca) = 0 \] tiene raíces de la forma $\alpha + i \beta$ donde $\alpha > 0$ y $\beta \not= 0$ son números reales. Demuestre que \n(i) Los números $a,b,c$ son todos positivos. \n(ii) Los números $\sqrt{a}, \sqrt{b} , \sqrt{c}$ forman los lados de un triángulo.

Suponga que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo de radio uno. Si $AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA \geq 4$, demuestre que $ABCD$ es un cuadrado.

Sean $p , q, r , s$ cuatro enteros tales que $s$ no es divisible por $5$. Si existe un entero $a$ tal que $pa^3 + qa^2+ ra +s$ es divisible por 5, demuestre que existe un entero $b$ tal que $sb^3 + rb^2 + qb + p$ también es divisible por 5.

Sean $a$ y $b$ dos números racionales positivos tales que $\sqrt[3] {a} + \sqrt[3]{b}$ también es un número racional. Demuestre que $\sqrt[3]{a}$ y $\sqrt[3] {b}$ son números racionales.

En un círculo $C_1$ con centro $O$, sea $AB$ una cuerda que no es un diámetro. Sea $M$ el punto medio de esta cuerda $AB$. Tomemos un punto $T$ en el círculo $C_2$ con $OM$ como diámetro. Sea la tangente a $C_2$ en $T$ que se encuentra con $C_1$ en $P$. Demuestre que $PA^2 + PB^2 = 4 \cdot PT^2$.

Un tablero de $12 \times 12$ se divide en $144$ cuadrados unitarios dibujando líneas paralelas a los lados. Se dice que dos torres colocadas en dos cuadrados unitarios no se atacan si no están en la misma columna o en la misma fila. Encuentre el número más pequeño $N$ tal que si se colocan $N$ torres en los cuadrados unitarios, una torre por cuadrado, siempre podemos encontrar $7$ torres tales que no haya dos que se ataquen entre sí.

¿De cuántas maneras pueden sentarse cuatro parejas casadas en un carrusel con asientos idénticos de tal manera que hombres y mujeres ocupen asientos alternos y ningún esposo se siente al lado de su esposa?