Sea un número natural $ n\ge 2, $ y una matriz $ A\in\mathcal{M}_n\left( \mathbb{C} \right) $ cuyo determinante se anula. Demostrar que $$ \left( A^* \right)^2 =A^*\cdot\text{tr} A^*, $$ donde $ A^* $ es la adjunta de $ A. $

Sean dos matrices $ A,B\in\mathcal{M}_2\left( \mathbb{R} \right) $ que no conmutan. a) Si $ A^3=B^3, $ entonces $ \text{tr} \left( A^n \right) =\text{tr} \left( B^n \right) , $ para todos los números naturales $ n. $ b) Si $ A^n\neq B^n $ y $ \text{tr} \left( A^n \right) =\text{tr} \left( B^n \right) , $ para todos los números naturales $ n, $ entonces encontrar algunas de las matrices $ A,B. $

a) Probar que existen dos funciones $ f,g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que tienen las propiedades: $ \text{(i)}\quad f\circ g=g\circ f $ $\text{(ii)}\quad f\circ f=g\circ g $ $ \text{(iii)}\quad f(x)\neq g(x), \quad \forall x\in\mathbb{R} $ b) Demostrar que si hay dos funciones $ f_1,g_1:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ con las propiedades $ \text{(i)} $ y $ \text{(iii)} $ de arriba, entonces $ \left( f_1\circ f_1\right)(x) \neq \left( g_1\circ g_1 \right)(x) , $ para todos los números reales $ x. $

Sea $ \left( a_n \right)_{n\ge 1} $ una sucesión de números reales tales que $ a_1>2 $ y $ a_{n+1} =a_1+\frac{2}{a_n} , $ para todo número natural $ n. $ a) Demostrar que $ a_{2n-1} +a_{2n} >4 , $ para todo número natural $ n, $ y $ \lim_{n\to\infty} a_n =2. $ b) Encontrar el número real más grande $ a $ para el cual la siguiente desigualdad es verdadera: $$ \sqrt{x^2+a_1^2} +\sqrt{x^2+a_2^2} +\sqrt{x^2+a_3^2} +\cdots +\sqrt{x^2+a_n^2} > n\sqrt{x^2+a^2}, \quad\forall x\in\mathbb{R} ,\quad\forall n\in\mathbb{N} . $$

Sea $ C $ denota el círculo unitario complejo centrado en el origen. a) Probar que $ \left( |z+1|-\sqrt 2 \right)\cdot \left( |z-1|-\sqrt 2 \right)\le 0,\quad\forall z\in C. $ b) Probar que para cualquier doce números de $ C, $ a saber $ z_1,\ldots ,z_{12} , $ existen otros doce números $ \varepsilon_1,\ldots ,\varepsilon_{12}\in\{-1,1\} $ tales que $$ \sum_{k=1}^{12} \left| z_k+\varepsilon_k \right| <17. $$

Sea $ a $ un número real positivo. Probar que $$ a^{\sin x}\cdot (a+1)^{\cos x}\ge a,\quad\forall x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right] . $$

Resolver en $ \mathbb{Z} $ el sistema: $$ \left\{ \begin{matrix} 2^x+\log_3 x=y^2 \\ 2^y+\log_3 y=x^2 \end{matrix} \right. . $$

a) Determinar $ x\in\mathbb{N} $ y $ y\in\mathbb{Q} $ tales que $ \sqrt{x+\sqrt{x}}=y. $ b) Demostrar que existen infinitos pares $ (x,y)\in\mathbb{Q}^2 $ tales que $ \sqrt{x+\sqrt{x}} =y . $

Si $ a,b,c>0 $ y $ ab+bc+ca+abc=4, $ entonces $ \sqrt{ab} +\sqrt{bc} +\sqrt{ca} \le 3\le a+b+c. $

Denotemos $ S_n $ como la suma de los cuadrados de los primeros $ n\in\mathbb{N} $ términos de una progresión aritmética dada de números naturales. a) Si $ p\ge 5 $ es un primo, entonces $ p\big| S_p. $ b) $ S_5 $ no es un cuadrado perfecto.