Un cuadrado de $ 6\times 6$ se divide en 9 rectángulos por líneas paralelas a sus lados de tal manera que todos estos rectángulos tienen lados enteros. Demuestra que siempre hay dos rectángulos congruentes.

Si $ a,b,c$ son tres números reales positivos, demuestra que $ \frac {a^{2}+1}{b+c}+\frac {b^{2}+1}{c+a}+\frac {c^{2}+1}{a+b}\ge 3$

Si $ a$ y $ b$ son números naturales tales que $ a+13b$ es divisible por $ 11$ y $ a+11b$ es divisible por $ 13$ , entonces encuentra el menor valor posible de $ a+b$ .

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo y sean $ D,E,F$ los pies de las perpendiculares desde $ A,B,C$ respectivamente a $ BC,CA,AB .$ Sean las perpendiculares desde $ F$ a $ CB,CA,AD,BE$ que se encuentran con ellas en $ P,Q,M,N$ respectivamente. Demuestra que los puntos $ P,Q,M,N$ son colineales.

k, l, m \in \mathbb{N} \t 2^{k+l} +2^{l+m}+2^{m+k}\le 2^{k+l+m+1} +1

Si $A$ es un subconjunto de cincuenta elementos del conjunto $1,2,\ldots 100$ tal que no hay dos números de $A$ que sumen $100$, muestra que $A$ contiene un cuadrado.

Dado cualquier entero positivo $n$, muestra que existen dos números racionales positivos $a$ y $b$, $a \not= b$, que no son enteros y que son tales que $a - b, a^2 - b^2 , \ldots a^n - b^n$ son todos enteros.

Sea $ABC$ un triángulo y $h_a$ la altura desde $A$. Demuestra que \[ (b+c)^2 \geq a^2 + 4h_a ^2 . \]

Suponga que $N$ es un entero positivo de $n$ dígitos tal que (a) todos sus dígitos son distintos; (b) la suma de cualesquiera tres dígitos consecutivos es divisible por $5$. Demuestra que $n \leq 6$. Además, muestra que comenzando con cualquier dígito, uno puede encontrar un número de seis dígitos con estas propiedades.

Resuelve para números reales $x$ e $y$, \begin{eqnarray*} \ xy^2 &=& 15x^2 + 17xy +15y^2 ; \ \ x^2y &=& 20x^2 + 3y^2. \end{eqnarray*}