Sea $ \left( a_n \right)_{n\ge 1} $ una sucesión de números reales tales que $ a_1>2 $ y $ a_{n+1} =a_1+\frac{2}{a_n} , $ para todo número natural $ n. $ a) Demostrar que $ a_{2n-1} +a_{2n} >4 , $ para todo número natural $ n, $ y $ \lim_{n\to\infty} a_n =2. $ b) Encontrar el número real más grande $ a $ para el cual la siguiente desigualdad es verdadera: $$ \sqrt{x^2+a_1^2} +\sqrt{x^2+a_2^2} +\sqrt{x^2+a_3^2} +\cdots +\sqrt{x^2+a_n^2} > n\sqrt{x^2+a^2}, \quad\forall x\in\mathbb{R} ,\quad\forall n\in\mathbb{N} . $$