Fije un entero positivo $n$ y un grafo finito con al menos una arista; los puntos finales de cada arista son distintos, y cualesquiera dos vértices están unidos por a lo sumo una arista. Los vértices y las aristas son asignados (no necesariamente distintos) números en el rango de $0$ a $n-1$ , un número cada uno. Una asignación de vértices y una asignación de aristas son compatibles si la siguiente condición se satisface en cada vértice $v$ : El número asignado a $v$ es congruente módulo $n$ a la suma de los números asignados a las aristas incidentes a $v$ . Fije una asignación de vértices y sea $N$ el número total de asignaciones de aristas compatibles; la compatibilidad se refiere, por supuesto, a la asignación de vértices fija. Demuestre que, si $N \neq 0$ , entonces los divisores primos de $N$ son todos a lo sumo $n$ .

Determine el entero más grande $n\geq 3$ para el cual las aristas del grafo completo en $n$ vértices pueden ser asignadas con enteros no negativos distintos por parejas tales que las aristas de cada triángulo tengan números que formen una progresión aritmética.

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función no decreciente tal que $f(y) - f(x) < y - x$ para todos los números reales $x$ e $y > x$ . La secuencia $u_1,u_2,\ldots$ de números reales es tal que $u_{n+2} = f(u_{n+1}) - f(u_n)$ para todo $n\geq 1$ . Demuestre que para cualquier $\varepsilon > 0$ existe un entero positivo $N$ tal que $|u_n| < \varepsilon$ para todo $n\geq N$ .

Una baldosa $T$ es una unión de finitamente muchos arcos disjuntos por parejas de un círculo unitario $K$ . El tamaño de $T$ , denotado por $|T|$ , es la suma de las longitudes de los arcos que $T$ consiste, dividido por $2\pi$ . Una copia de $T$ es una baldosa $T'$ obtenida al rotar $T$ alrededor del centro de $K$ a través de algún ángulo. Dado un número real positivo $\varepsilon < 1$ , ¿existe una secuencia infinita de baldosas $T_1,T_2,\ldots,T_n,\ldots$ que satisfagan las siguientes dos condiciones simultáneamente: 1) $|T_n| > 1 - \varepsilon$ para todo $n$ ; 2) La unión de todos los $T_n'$ (cuando $n$ recorre los enteros positivos) es un subconjunto propio de $K$ para cualquier elección de las copias $T_1'$ , $T_2'$ , $\ldots$ , $T_n', \ldots$ ?

Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ enteros que satisfacen la siguiente condición: los números $x_1,\ldots,x_n$ son distintos por parejas y para cada entero positivo $m$ existe un polinomio $P_m$ con coeficientes enteros tal que $P_m(x_i) - y_i$ , $i=1,\ldots,n$ , son todos divisibles por $m$ . Demuestre que existe un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que $P(x_i) = y_i$ para todo $i=1,\ldots,n$ .

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[ f(xy+f(x)) + f(y) = xf(y) + f(x+y) \] para todos los números reales $x$ e $y$ .

Sea $ A $ un anillo que no es un anillo de división, y tal que cualquier no unidad de él es idempotente. Demostrar que: a) $ \left( U(A) +A\setminus\left( U(A)\cup \{ 0\} \right) \right)\cap U(A) =\emptyset . $ b) Todo elemento de $ A $ es idempotente.

Encontrar $$ \inf_{\substack{ n\ge 1 \\ a_1,\ldots ,a_n >0 \\ a_1+\cdots +a_n <\pi }} \left( \sum_{j=1}^n a_j\cos \left( a_1+a_2+\cdots +a_j \right)\right) . $$

Sea un grupo y dos números naturales coprimos $ m,n. $ Demostrar que si las aplicaciones $ G\ni x\mapsto x^{m+1},x^{n+1} $ son endomorfismos sobreyectivos, entonces el grupo es conmutativo.

Sean $ f,g:[0,1]\longrightarrow{R} $ dos funciones continuas tales que $ f(x)g(x)\ge 4x^2, $ para todo $ x\in [0,1] . $ Probar que $$ \left| \int_0^1 f(x)dx \right| \ge 1\text{ o } \left| \int_0^1 g(x)dx \right| \ge 1. $$