Se deben diseñar dados no convencionales de tal manera que las seis caras estén marcadas con números del $1$ al $6$ con $1$ y $2$ apareciendo en caras opuestas. Además, cada cara está coloreada de rojo o amarillo con caras opuestas siempre del mismo color. Se considera que dos dados tienen el mismo diseño si uno de ellos puede rotarse para obtener un dado que tenga los mismos números y colores en las caras correspondientes que el otro. Encuentra el número de dados distintos que se pueden diseñar.

Sea $X$ el conjunto de todos los enteros positivos pares $n$ tales que la medida del ángulo de algún polígono regular es $n$ grados. Encuentra el número de elementos en $X$.

En un triángulo $A B C$, sea $E$ el punto medio de $A C$ y $F$ el punto medio de $A B$. Las medianas $B E$ y $C F$ se intersecan en $G$. Sean $Y$ y $Z$ los puntos medios de $B E$ y $C F$ respectivamente. Si el área del triángulo $A B C$ es 480, encuentra el área del triángulo $G Y Z$.

Sean $x, y$ enteros positivos tales que \n$$ x^4=(x-1)\left(y^3-23\right)-1 . $$\nEncuentra el valor máximo posible de $x+y$.

Sean $\alpha$ y $\beta$ enteros positivos tales que \n$$ \frac{16}{37}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{7}{16} . $$\nEncuentra el valor posible más pequeño de $\beta$.

Encuentra el número de elementos en el conjunto \n$$ \left\{(a, b) \in \mathbb{N}: 2 \leq a, b \leq 2023, \log _a(b)+6 \log _b(a)=5\right\} $$\n

Sea $n$ un entero positivo tal que $1 \leq n \leq 1000$. Sea $M_n$ el número de enteros en el conjunto $X_n=\{\sqrt{4 n+1}, \sqrt{4 n+2}, \ldots, \sqrt{4 n+1000}\}$. Sea \n$$ a=\max \left\{M_n: 1 \leq n \leq 1000\right\} \text {, y } b=\min \left\{M_n: 1 \leq n \leq 1000\right\} \text {. } $$\nEncuentra $a-b$.

Sea $ X$ el conjunto de todos los enteros positivos mayores o iguales a $ 8$ y sea $ f: X\rightarrow X$ una función tal que $ f(x+y)=f(xy)$ para todo $ x\ge 4, y\ge 4 .$ Si $ f(8)=9$ , determina $ f(9) .$

Demuestra que hay infinitos enteros positivos $ n$ tales que $ n(n+1)$ puede representarse como una suma de dos cuadrados positivos de al menos dos formas diferentes. (Aquí $ a^{2}+b^{2}$ y $ b^{2}+a^{2}$ se consideran la misma representación.)

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero en el que $ AB$ es paralelo a $ CD$ y perpendicular a $ AD; AB = 3CD;$ y el área del cuadrilátero es $ 4$ . Si se puede dibujar un círculo que toque los cuatro lados del cuadrilátero, encuentra su radio.