En un cuadrado de lado 6 se dan los puntos $A,B,C,D$ tales que la distancia entre dos cualesquiera de los cuatro puntos es al menos 5. Demuestre que $A,B,C,D$ forman un cuadrilátero convexo y su área es mayor que 21.

Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los primos, y sea $M$ un subconjunto de $\mathcal{P}$ , que tiene al menos tres elementos, y tal que para cualquier subconjunto propio $A$ de $M$ todos los factores primos del número $ -1+\prod_{p\in A}p$ se encuentran en $M$ . Demuestre que $M= \mathcal{P}$ .

Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Dentro de un arreglo de $n\times n$ se colocan $n^2$ números positivos con suma $n^3$ . Demuestre que podemos encontrar un cuadrado de $2\times 2$ de 4 elementos del arreglo, que tenga los lados paralelos a los lados del arreglo, y para el cual la suma de los elementos en el cuadrado es mayor que $3n$ .

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con radios $r_1$ y $r_2$ , $r_2>r_1$ , son externamente tangentes. La línea $t_1$ es tangente a los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ en los puntos $A$ y $D$ respectivamente. La línea paralela $t_2$ a la línea $t_1$ es tangente al círculo $\omega_1$ e interseca al círculo $\omega_2$ en los puntos $E$ y $F$ . La línea $t_3$ que pasa por $D$ interseca la línea $t_2$ y el círculo $\omega_2$ en $B$ y $C$ respectivamente, ambos diferentes de $E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ es tangente a la línea $t_1$ .

Encuentre todos los enteros $a,b,m,n$ , con $m>n>1$ , para los cuales el polinomio $f(X)=X^n+aX+b$ divide al polinomio $g(X)=X^m+aX+b$ .

En un concurso de matemáticas hay $2n$ estudiantes participando. Cada uno de ellos presenta un problema al jurado, que posteriormente da a cada estudiante uno de los $2n$ problemas presentados. Se dice que el concurso es justo si hay $n$ participantes que reciben sus problemas de los otros $n$ participantes. Demuestre que el número de distribuciones de los problemas para obtener un concurso justo es un cuadrado perfecto.

Sea $f\in\mathbb{Z}[X]$ un polinomio irreducible sobre el anillo de polinomios enteros, tal que $|f(0)|$ no es un cuadrado perfecto. Demuestre que si el coeficiente principal de $f$ es 1 (el coeficiente del término que tiene el grado más alto en $f$ ) entonces $f(X^2)$ también es irreducible en el anillo de polinomios enteros.

Demuestre que entre los elementos de la secuencia $\left\{ \left\lfloor n\sqrt{2003} \right\rfloor \right\}_{n\geq 1}$ uno puede encontrar una progresión geométrica que tenga cualquier número de términos, y que tenga la razón mayor que $k$ , donde $k$ puede ser cualquier entero positivo.

Sean $n,k$ enteros positivos tales que $n^k>(k+1)!$ y considere el conjunto\n\[ M=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\\dvd x_i\in\{1,2,\ldots,n\},\ i=\overline{1,k}\}. \]\nDemuestre que si $A\subset M$ tiene $(k+1)!+1$ elementos, entonces existen dos elementos $\{\alpha,\beta\}\subset A$ , $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ , $\beta=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ tales que\n\[ (k+1)! \left| (\beta_1-\alpha_1)(\beta_2-\alpha_2)\cdots (\beta_k-\alpha_k) \right. .\]

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=60^\circ$ . Considere un punto $P$ dentro del triángulo con $PA=1$ , $PB=2$ y $PC=3$ . Encuentre el área máxima posible del triángulo $ABC$ .