Para cada entero positivo $ n$ considera\n$ A_n=\sqrt{49n^2+0,35n}.$\n(a) Encuentra los primeros tres dígitos después del punto decimal de $ A_1$ .\n(b) Demuestra que los primeros tres dígitos después del punto decimal de $ A_n$ y $ A_1$ son los mismos, para cada $ n$ .

Calcula el área máxima de un triángulo que tiene una mediana de longitud 1 y una mediana de longitud 2.

Encuentra el número máximo de elementos que se pueden elegir del conjunto $ \{1,2,3,\ldots,2003\}$ tal que la suma de dos elementos elegidos no sea divisible por 3.

Para cada entero positivo $n$ denotamos por $d(n)$ la suma de sus dígitos en la representación decimal. Demuestre que para cada entero positivo $k$ existe un entero positivo $m$ tal que la ecuación $x+d(x)=m$ tiene exactamente $k$ soluciones en el conjunto de enteros positivos.

Una permutación $\sigma: \{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ se llama recta si y solo si para cada entero $k$ , $1\leq k\leq n-1$ se cumple la siguiente desigualdad\n\[ |\sigma(k)-\sigma(k+1)|\leq 2. \]\nEncuentre el entero positivo más pequeño $n$ para el cual existen al menos 2003 permutaciones rectas.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y denote por $A',B',C',D',E',F'$ los puntos medios de los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DE$ , $EF$ y $FA$ respectivamente. Se dan las áreas de los triángulos $ABC'$ , $BCD'$ , $CDE'$ , $DEF'$ , $EFA'$ y $FAB'$ . Encuentre el área del hexágono.

En un plano elegimos un sistema cartesiano de coordenadas. Un punto $A(x,y)$ en el plano se llama punto entero si y solo si tanto $x$ como $y$ son enteros. Un punto entero $A$ se llama invisible si en el segmento $(OA)$ hay al menos un punto entero. Demuestre que para cada entero positivo $n$ existe un cuadrado de lado $n$ en el cual todos los puntos enteros interiores son invisibles.

Se da un rombo $ABCD$ de lado 1. En los lados $BC$ y $CD$ se dan los puntos $M$ y $N$ respectivamente, tales que $MC+CN+MN=2$ y $2\angle MAN = \angle BAD$ . Encuentre las medidas de los ángulos del rombo.

Un parlamento tiene $n$ senadores. Los senadores forman 10 partidos y 10 comités, de tal manera que cualquier senador pertenece exactamente a un partido y a un comité. Encuentre el menor $n$ posible para el cual es posible etiquetar los partidos y los comités con números del 1 al 10, de tal manera que haya al menos 11 senadores para los cuales los números del partido y el comité correspondientes sean iguales.

Una palabra es una secuencia de n letras del alfabeto {a, b, c, d}. Se dice que una palabra es complicada si contiene dos grupos consecutivos de letras idénticas. Las palabras caab, baba y cababdc, por ejemplo, son palabras complicadas, mientras que bacba y dcbdc no lo son. Una palabra que no es complicada es una palabra simple. Demuestre que el número de palabras simples con n letras es mayor que $2^n$ , si n es un entero positivo.