2 Demuestre que para todo $ n\geq 2,$ existe un polinomio de grado $ n$ $ f(x) = x^n + a_{1}x^{n - 1} + \cdots + a_{n}$ tal que (1) $ a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}$ son todos distintos de $ 0$ ; (2) $ f(x)$ no se puede factorizar como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros y grados positivos; (3) para cualesquiera enteros $ x, |f(x)|$ no es un número primo. Fang-jh

2017 g4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. El punto $D$ es el punto medio del arco menor $BC$ . Los puntos $M$ y $N$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$ a las rectas $AB$ y $AC$ , respectivamente. Sean $X$ y $Y$ los puntos donde las rectas $DM$ y $DN$ cortan por segunda vez a $\Gamma$ , respectivamente. Demuestre que $MN$ biseca a $XY$ .

2017 g5.3 Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $A$ . Sea $l$ la recta que pasa por los puntos medios de $BC$ y $AC$ . $E$ es la reflexión de $D$ respecto a $l$ . Demuestre que el circuncentro de $\triangle ABC$ está sobre la recta $AE$ .

10 Sea $ABC$ un triángulo con $AC > BC$, sea $\omega$ el circuncírculo de $\triangle ABC$, y sea $r$ su radio. Se elige un punto $P$ sobre $\overline{AC}$ tal que $BC=CP$, y sea $S$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $\overline{AB}$. El rayo $BP$ corta a $\omega$ nuevamente en $D$. Se elige un punto $Q$ sobre la recta $SP$ tal que $PQ = r$ y $S,P,Q$ están sobre una recta en ese orden. Finalmente, sea $E$ un punto que satisface $\overline{AE} \perp \overline{CQ}$ y $\overline{BE} \perp \overline{DQ}$. Demuestra que $E$ está sobre $\omega$.

1 Sea $S = \lbrace A = (a_1, \ldots, a_s) \mid a_i = 0$ o $1, i = 1, \ldots, 8 \rbrace$ . Para cualesquiera 2 elementos de $S$ , $A = \lbrace a_1, \ldots, a_8\rbrace$ y $B = \lbrace b_1, \ldots, b_8\rbrace$ . Sea $d(A,B) = \sum_{i=1}{8} |a_i - b_i|$ . Llame a $d(A,B)$ la distancia entre $A$ y $B$ . ¿Cuántos elementos como máximo puede tener $S$ de modo que la distancia entre cualesquiera 2 conjuntos sea al menos 5?

1 Para todos los primos $p \geq 3,$ defina $F(p) = \sum^{\frac{p-1}{2}}_{k=1}k^{120}$ y $f(p) = \frac{1}{2} - \left\{ \frac{F(p)}{p} \right\}$ , donde $\{x\} = x - [x],$ halle el valor de $f(p).$

3 Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$ , $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ , y $Q$ el punto de $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$ . Sea $E$ el punto medio de $DQ$ . Demuestre que las rectas perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$ , respectivamente, se cortan sobre $AD$ .

2 Sean $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$, $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ tales que $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} < 1$ y $a + c \leq n,$; halle el valor máximo de $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ para el valor fijo $n.$

1 Si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico, demuestre que los incentros de los triángulos $ABC$ , $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ son los vértices de un rectángulo.

2 Sean $ a_1$ , $ a_2$ , ..., $ a_n$ y $ b_1$ , $ b_2$ , ..., $ b_n$ $ 2 \cdot n$ números reales. Demuestre que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: i) Para cualesquiera $ n$ números reales $ x_1$ , $ x_2$ , ..., $ x_n$ que satisfacen $ x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_ n$ , se tiene $ \sum^{n}_{k = 1} a_k \cdot x_k \leq \sum^{n}_{k = 1} b_k \cdot x_k,$ ii) Se tiene $ \sum^{s}_{k = 1} a_k \leq \sum^{s}_{k = 1} b_k$ para todo $ s\in\left\{1,2,...,n-1\right\}$ y $ \sum^{n}_{k = 1} a_k = \sum^{n}_{k = 1} b_k$ .