6 Para cualquier entero positivo $n$ , sea $\tau (n)$ el número de sus divisores positivos (incluidos 1 y el propio número). Determine todos los enteros positivos $m$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{\tau (n^{2})}{\tau (n)}=m$ .

32 Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ $n$ números reales tales que $0<a\le a_k\le b$ para $k=1,2,\ldots ,n$ . Si $m_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ y $m_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+\cdots + a_n^2)$ , demuestre que $m_2\le\frac{(a+b)^2}{4ab}m_1^2$ y halle una condición necesaria y suficiente para la igualdad.

33 Sea a un número real tal que $0 < a < 1$ , y sea $n$ un entero positivo. Defina la sucesión $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ recursivamente mediante \[a_0 = a, \quad a_{k+1} = a_k +\frac 1n a_k^2 \quad \text{ for } k = 0, 1, \ldots, n - 1.\] Demuestre que existe un número real $A$ , que depende de $a$ pero es independiente de $n$ , tal que \[0 < n(A - a_n) < A^3.\] Amir

34 Considere diagramas infinitos [asy] import graph; size(90); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; label("$n_{00} \ n_{01} \ n_{02} \ldots$", (1.14,1.38), SE*lsf); label("$n_{10} \ n_{11} \ n_{12} \ldots$", (1.2,1.8), SE*lsf); label("$n_{20} \ n_{21} \ n_{22} \ldots$", (1.2,2.2), SE*lsf); label("$\vdots \quad \vdots \qquad \vdots $", (1.32,2.72), SE*lsf); draw((1,1)--(3,1)); draw((1,1)--(1.02,2.62)); clip((-4.3,-10.94)--(-4.3,6.3)--(16.18,6.3)--(16.18,-10.94)--cycle); [/asy] donde todos menos un número finito de los enteros $n_{ij} , i = 0, 1, 2, \ldots, j = 0, 1, 2, \ldots ,$ son iguales a $0$ . Tres elementos de un diagrama se denominan adyacentes si existen enteros $i$ y $j$ con $i \geq 0$ y $j \geq 0$ tales que los tres elementos son (i) $n_{ij}, n_{i,j+1}, n_{i,j+2},$ o (ii) $n_{ij}, n_{i+1,j}, n_{i+2,j} ,$ o (iii) $n_{i+2,j}, n_{i+1,j+1}, n_{i,j+2}.$ Una operación elemental sobre un diagrama es una operación mediante la cual tres elementos adyacentes $n_{ij}$ se cambian a $n_{ij}'$ de tal manera que $|n_{ij}-n_{ij}'|=1.$ Dos diagramas se denominan equivalentes si uno de ellos puede ser cambiado en el otro mediante una sucesión finita de operaciones elementales. ¿Cuántos diagramas no equivalentes existen? Amir

35 Si $p$ y $q$ son números primos distintos, entonces existen enteros $x_0$ y $y_0$ tales que $1 = px_0 + qy_0.$ Determine el valor máximo de $b - a$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos con la siguiente propiedad: Si $a \leq t \leq b$ , y $t$ es un entero, entonces existen enteros $x$ y $y$ con $0 \leq x \leq q - 1$ y $0 \leq y \leq p - 1$ tales que $t = px + qy.$ Amir

36 Considere los coeficientes binomiales $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\ (k=1,2,\ldots n-1)$ . Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\binom{n}{1},\binom{n}{2},\ldots ,\binom{n}{n-1}$ son todos números pares.

37 Sean $a, b$ , y $c$ los tres lados de una mesa de billar con forma de triángulo equilátero. Una bola es colocada en el punto medio del lado $a$ y luego es impulsada hacia el lado $b$ con dirección definida por el ángulo $\theta$ . ¿Para qué valores de $\theta$ la bola golpeará los lados $b, c, a$ en ese orden? Amir

38 Los puntos $S(i, j)$ con coordenadas cartesianas enteras $0 < i \leq n, 0 < j \leq m, m \leq n$ , forman una retícula. Halle el número de: (a) rectángulos con vértices en la retícula y lados paralelos a los ejes de coordenadas; (b) cuadrados con vértices en la retícula y lados paralelos a los ejes de coordenadas; (c) cuadrados en total, con vértices en la retícula. Amir

39 Sea $n$ un entero positivo, $n \geq 2$ , y considere la ecuación polinómica \[x^n - x^{n-2} - x + 2 = 0.\] Para cada $n,$ determine todos los números complejos $x$ que satisfacen la ecuación y tienen módulo $|x| = 1.$ Amir

68 Tres de las raíces de la ecuación $x^4 -px^3 +qx^2 -rx+s = 0$ son $\tan A, \tan B$ y $\tan C$, donde $A, B$ y $C$ son ángulos de un triángulo. Determina la cuarta raíz como función únicamente de $p, q, r$ y $s.$ Amir