El conjunto $X$ de $N$ números de cuatro dígitos formados a partir de los dígitos $1,2,3,4,5,6,7,8$ satisface la siguiente condición: para cualquier dos dígitos diferentes de $1,2,3,4,,6,7,8$ existe un número en $X$ que contiene ambos. Determine el valor posible más pequeño de $N$ .

Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes reales de grado 2. Suponga que para algunos números reales distintos por pares , $a,b,c$ tenemos: $$f(a)=bc , f(b)=ac, f(c)=ab$$ Determine $f(a+b+c)$ en términos de $a,b,c$ .

Dado un número primo $p$ tal que $2p$ es igual a la suma de los cuadrados de algunos cuatro enteros positivos consecutivos. Demuestre que $p-7$ es divisible por 36.

Dado un triángulo $ABC$ con $\angle ACB = 120^{\circ}.$ Un punto $L$ está marcado en el lado $AB$ tal que $CL$ biseca a $\angle ACB.$ Los puntos $N$ y $K$ se eligen en los lados $AC$ y $BC $ tales que $CK+CN=CL.$ Demuestre que el triángulo $KLN$ es equilátero.

Considere un conjunto de $16$ puntos dispuestos en una formación de cuadrícula cuadrada de $4 \times 4$ . Demuestre que si alguno de estos $7$ puntos está coloreado de azul, entonces existe un triángulo rectángulo isósceles cuyos vértices son todos azules.

Sean $n>k>1$ enteros positivos. Determine todos los números reales positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ que satisfacen $$\sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{k a_i^k}{(k-1) a_i^k+1}}=\sum_{i=1}^n a_i=n .$$

Sean $\Omega_1, \Omega_2$ dos círculos que se intersecan con centros $O_1, O_2$ respectivamente. Sea $l$ una línea que interseca a $\Omega_1$ en los puntos $A, C$ y a $\Omega_2$ en los puntos $B, D$ tales que $A, B, C, D$ son colineales en ese orden. Sea la bisectriz perpendicular del segmento $A B$ que interseca a $\Omega_1$ en los puntos $P, Q$ ; y la bisectriz perpendicular del segmento $C D$ que interseca a $\Omega_2$ en los puntos $R, S$ tales que $P, R$ están en el mismo lado de $l$ . Demuestre que los puntos medios de $P R, Q S$ y $O_1 O_2$ son colineales.

Para cualquier número natural $n$ , expresado en base 10 , sea $s(n)$ la suma de todos sus dígitos. Encuentre todos los números naturales $m$ y $n$ tales que $m<n$ y $$(s(n))^2=m \text { y } (s(m))^2=n .$$

Sea $\omega$ un semicírculo con $A B$ como el diámetro delimitador y sea $C D$ una cuerda variable del semicírculo de longitud constante tal que $C, D$ se encuentren en el interior del arco $A B$ . Sea $E$ un punto en el diámetro $A B$ tal que $C E$ y $D E$ estén igualmente inclinados a la línea $A B$ . Demuestre que (a) la medida de $\angle C E D$ es una constante; (b) la circunferencia circunscrita del triángulo $C E D$ pasa por un punto fijo.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos y $S=\left\{(a, b, c, d) \in \mathbb{N}^4: a^2+b^2+c^2=d^2\right\}$ . Encuentre el entero positivo más grande $m$ tal que $m$ divide a abcd para todo $(a, b, c, d) \in S$ .