Tres atletas corrieron a diferentes velocidades constantes a lo largo de una pista de longitud $1$. Comenzaron a moverse al mismo tiempo en un extremo de la pista. Habiendo alcanzado uno de los extremos de la pista, el atleta inmediatamente dio la vuelta y continuó corriendo en la dirección opuesta. Después de un tiempo, los tres atletas se encontraron en la salida y terminaron el entrenamiento. ¿Con qué máximo $S$ podemos decir con conocimiento de causa que en algún momento la suma de las distancias por parejas entre los atletas fue de al menos $S$?

Llamaremos erizo a un grafo en el que un vértice está conectado a todos los demás y no hay otras aristas; el número de vértices de este grafo se llamará tamaño del erizo. Se da un grafo $G$ sobre $n$ vértices (donde $n > 1$). Para cada arista $e$, denotamos por $s(e)$ el tamaño del erizo máximo en el grafo $G$, que contiene esta arista. Demuestra la desigualdad (la suma se realiza sobre todas las aristas del grafo $G$):\n\[\sum_e \frac{1}{s(e)} \leqslant \frac{n}{2}.\]

Los números triangulares son números de la forma $1 + 2 + . . . + n$ con entero positivo $n$, es decir, $1, 3, 6, 10$, . . . . Encuentra el mayor número entero positivo no triangular que no puede representarse como la suma de números triangulares distintos.

La esfera $S$ toca un plano. Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el plano tales que no tres de ellos son colineales. Considere el punto $A'$ tal que $S$ es tangente a las caras del tetraedro $A'BCD$ . Los puntos $B',C',D'$ se definen de manera similar. Demuestra que $A',B',C',D'$ son coplanares y el plano $A'B'C'D'$ toca $S$ .

Tres círculos $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ son tangentes a la línea $l$ en los puntos $A,B,C$ ( $B$ se encuentra entre $A,C$ ) y $\omega_2$ es externamente tangente a los otros dos. Sean $X,Y$ los puntos de intersección de $\omega_2$ con la otra tangente externa común de $\omega_1,\omega_3$ . La línea perpendicular a través de $B$ a $l$ se encuentra con $\omega_2$ nuevamente en $Z$ . Demuestra que el círculo con diámetro $AC$ toca $ZX,ZY$ .

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ . La línea $CO$ interseca la altura de $A$ en el punto $K$ . Sean $P,M$ los puntos medios de $AK$ , $AC$ respectivamente. Si $PO$ interseca a $BC$ en $Y$ , y la circunferencia del triángulo $BCM$ se encuentra con $AB$ en $X$ , demuestre que $BXOY$ es cíclico.

Tenemos seis círculos por pares que no se intersecan, que el radio de cada uno es al menos uno (ningún círculo se encuentra en el interior de ningún otro círculo). Demuestre que el radio de cualquier círculo que interseca a los seis círculos es al menos uno.

En el triángulo $ABC$ , el incírculo, con centro $I$ , toca los lados $BC$ en el punto $D$ . La línea $DI$ se encuentra con $AC$ en $X$ . La línea tangente de $X$ al incírculo (diferente de $AC$ ) interseca a $AB$ en $Y$ . Si $YI$ y $BC$ se intersecan en el punto $Z$ , demuestre que $AB=BZ$ .

Sean $X,Y$ dos puntos en el lado $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $2XY=BC$ ( $X$ está entre $B,Y$ ) . Sea $AA'$ el diámetro de la circunferencia del triángulo $AXY$ . Sea $P$ el punto donde $AX$ se encuentra con la perpendicular de $B$ a $BC$ , y $Q$ el punto donde $AY$ se encuentra con la perpendicular de $C$ a $BC$ . Demuestra que la línea tangente de $A'$ a la circunferencia de $AXY$ pasa por el circuncentro del triángulo $APQ$ .

En el triángulo isósceles $ABC$ ( $AB=AC$ ) , sea $l$ una línea paralela a $BC$ a través de $A$ . Sea $D$ un punto arbitrario en $l$ . Sean $E,F$ los pies de las perpendiculares a través de $A$ a $BD,CD$ respectivamente. Suponga que $P,Q$ son las imágenes de $E,F$ en $l$ . Demuestra que $AP+AQ\le AB$