Sea $ G$ un grafo simple con conjunto de vértices $ V=\{0,1,2,3,\cdots ,n+1\}$. $ j$ y $ j+1$ están conectados por una arista para $ 0\le j\le n$. Sea $ A$ un subconjunto de $ V$ y $ G(A)$ el subgrafo inducido asociado con $ A$. Sea $ O(G(A))$ el número de componentes de $ G(A)$ que tienen un número impar de vértices. Sea $ T(p,r)=\{A\subset V \mid 0.n+1 \notin A,|A|=p,O(G(A))=2r\}$ para $ r\le p \le 2r$. Demuestra que $ |T(p,r)|={n-r \choose{p-r}}{n-p+1 \choose{2r-p}}$.

Encuentra todos los enteros $ n\ge 2$ con la siguiente propiedad: Existen tres primos distintos $p,q,r$ tales que siempre que $ a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$ sean $n$ enteros positivos distintos con la propiedad de que al menos uno de $ p,q,r$ divide a $ a_j - a_k \ \forall 1\le j\le k\le n$, uno de $ p,q,r$ divide todas estas diferencias.

Para un cierto triángulo, todas sus alturas son enteros cuya suma es menor que 20. Si su inradio también es un entero, encuentra todos los valores posibles del área del triángulo.

Sean $ f(x)=\sum_{k=1}^n a_k x^k$ y $ g(x)=\sum_{k=1}^n \frac{a_k x^k}{2^k -1}$ dos polinomios con coeficientes reales. Sea g(x) tiene $ 0,2^{n+1}$ como dos de sus raíces. Demuestra que $ f(x)$ tiene una raíz positiva menor que $ 2^n$.

Sea $n$ un número natural $ \ge 2$ que divide a $ 3^n+4^n$. Demuestra que $ 7\mid n$.

Sea $P$ cualquier punto en el interior de un $ \triangle ABC$. Demuestra que $ \frac{PA}{a}+\frac{PB}{b}+\frac{PC}{c}\ge \sqrt{3}$.

Demuestra la siguiente identidad: $ \sum_{j = 0}^n \left ({{3n + 2 - j \choose j}2^j - {3n + 1 - j \choose j - 1}2^{j - 1}\right ) = 2^{3n}$. El segundo término del lado izquierdo debe considerarse cero para j=0.

Sean $ f(x)$ y $ g(y)$ dos polinomios mónicos de grado = $n$ que tienen coeficientes complejos. Sabemos que existen números complejos $ a_i,b_i,c_i \forall 1\le i \le n$, tales que $ f(x)-g(y)=\prod_{i=1}^n{(a_ix+b_iy+c_i)}$. Demuestra que existen $ a,b,c\in\mathbb{C}$ tales que $ f(x)=(x+a)^n+c\text{ y }g(y)=(y+b)^n+c$.

Sea $ \gamma$ la circunferencia circunscrita del $ \triangle ABC$. Sea $R_a$ el radio del círculo que toca a $AB, AC$ y $ \gamma$ internamente. Define $R_b, R_c$ de manera similar. Demuestra que $ \frac {1}{aR_a} + \frac {1}{bR_b} + \frac {1}{cR_c} = \frac {s^2}{rabc}$.

Sean $a, b$ dos números naturales impares distintos. Define una secuencia $ { < a_n > }_{n\ge 0}$ como sigue: $ a_1 = a \\ a_2 = b \\ a_n = \text{el mayor divisor impar de }(a_{n - 1} + a_{n - 2})$. Demuestra que existe un número natural $N$ tal que $ a_n = gcd(a,b) \forall n\ge N$.