En el plano, se dan $n$ puntos ( $n>2$ ) . No tres de ellos son colineales. A través de cada dos de ellos se dibuja la línea, y entre los otros puntos dados, se marca el más cercano a esta línea (en cada caso este punto resultó ser único). ¿Cuál es el número máximo posible de puntos marcados para cada $n$ dado?

Dos círculos $\omega_1,\omega_2$ se intersecan en $A,B$ . Una línea arbitraria que pasa por $B$ se encuentra con $\omega_1,\omega_2$ en $C,D$ respectivamente. Los puntos $E,F$ se eligen en $\omega_1,\omega_2$ respectivamente de modo que $CE=CB,\ BD=DF$ . Suponga que $BF$ se encuentra con $\omega_1$ en $P$ , y $BE$ se encuentra con $\omega_2$ en $Q$ . Demuestra que $A,P,Q$ son colineales.

En un cierto lenguaje las palabras se forman usando un alfabeto de tres letras. Algunas palabras de dos o más letras no están permitidas, y dos palabras distintas cualesquiera tienen longitudes diferentes. Demuestre que se puede formar una palabra de longitud arbitraria que no contenga ninguna palabra no permitida.

Consideramos la división de un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ en p rectángulos disjuntos que satisfacen las condiciones: a) cada rectángulo está formado por un número de cuadrados completos (no parciales) de los 64 y el número de cuadrados blancos es igual al número de cuadrados negros. b) los números $\ a_{1}, \ldots, a_{p}$ de cuadrados blancos de $p$ rectángulos satisfacen $a_1, , \ldots, a_p.$ Encuentre el mayor valor de $p$ para el cual existe tal división y luego para ese valor de $p,$ todas las secuencias $a_{1}, \ldots, a_{p}$ para las cuales podemos tener tal división.

Sea $ABC$ un triángulo. Demuestre que existe un punto $D$ en el lado $AB$ del triángulo $ABC$, tal que $CD$ es la media geométrica de $AD$ y $DB$, si y solo si el triángulo $ABC$ satisface la desigualdad $\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2}$.

Sean $x, y, z$ números reales cada uno de los cuales su valor absoluto es diferente de $\frac{1}{\sqrt 3}$ tal que $x + y + z = xyz$ . Demuestra que \[\frac{3x - x^3}{1-3x^2} + \frac{3y - y^3}{1-3y^2} + \frac{3z -z^3}{1-3z^2} = \frac{3x - x^3}{1-3x^2} \cdot \frac{3y - y^3}{1-3y^2} \cdot \frac{3z - z^3}{1-3z^2}\]

Las variables $a,b,c,d,$ recorren, independientemente entre sí, el conjunto de valores reales positivos. ¿Cuáles son los valores que toma la expresión \[ S= \frac{a}{a+b+d} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{b+c+d} + \frac{d}{a+c+d} \]?

Sean $a_i, b_i$ enteros positivos coprimos para $i = 1, 2, \ldots , k$ , y $m$ el mínimo común múltiplo de $b_1, \ldots , b_k$ . Demuestra que el máximo común divisor de $a_1 \frac{m}{b_1} , \ldots, a_k \frac{m}{b_k}$ es igual al máximo común divisor de $a_1, \ldots , a_k.$

Demuestra que para cualquier n natural, el número \[ \sum \limits_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k+1} 2^{3k} \] no puede ser dividido por $5$ .

Sean $A_r,B_r, C_r$ puntos en la circunferencia de un círculo dado $S$ . Del triángulo $A_rB_rC_r$ , llamado $\Delta_r$ , el triángulo $\Delta_{r+1}$ se obtiene construyendo los puntos $A_{r+1},B_{r+1}, C_{r+1} $ en $S$ de modo que $A_{r+1}A_r$ sea paralelo a $B_rC_r$ , $B_{r+1}B_r$ sea paralelo a $C_rA_r$ , y $C_{r+1}C_r$ sea paralelo a $A_rB_r$ . Cada ángulo de $\Delta_1$ es un número entero de grados y esos enteros no son múltiplos de $45$ . Demostrar que al menos dos de los triángulos $\Delta_1,\Delta_2, \ldots ,\Delta_{15}$ son congruentes.