Sean $a, b, c$ enteros no nulos tales que $M = \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ y $N =\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}$ son ambos enteros. Encuentre $M$ y $N$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$, y sea $M$ el punto medio de $AB$. Sea $P$ un punto dentro del triángulo tal que $\angle PAB =\angle PBC$. Demuestre que $\angle APM + \angle BPC = 180^o$.

Defina la distancia entre dos números de $5$ dígitos $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ y $\overline{b_1b_2b_3b_4b_5}$ como el entero más grande $j$ tal que $a_j \ne b_j$. (Ejemplo: la distancia entre $16523$ y $16452$ es $5$.) Suponga que todos los números de $5$ dígitos están escritos en una línea en algún orden. ¿Cuál es la suma mínima posible de las distancias de los números adyacentes en ese orden escrito?

Hay $N$ puntos en el plano tales que el número total de distancias por pares de estos $N$ puntos es a lo sumo $n$. Demuestre que $N \le (n + 1)^2$.

Sean $BE$ y $CF$ las bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$ de un triángulo $ABC$ cuyo incentro es $I$. Suponga que $EF$, extendido, se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $M,N$. Demuestre que el circunradio de $MIN$ es el doble que el de $ABC$.

Suponga que $n$ es un número natural tal que $4^n + 2^n + 1$ es un primo. Demuestre que $n = 3^k$ para algún entero no negativo $k$.

Sean $a_1, a_2, a_3$ tres números reales distintos. Defina $$\begin{cases} b_1=\left(1+\dfrac{a_1a_2}{a_1-a_2}\right)\left(1+\dfrac{a_1a_3}{a_1-a_3}\right) \\ \\ b_2=\left(1+\dfrac{a_2a_3}{a_2-a_3}\right)\left(1+\dfrac{a_2a_1}{a_2-a_1}\right) \\ \\ b_3=\left(1+\dfrac{a_3a_1}{a_3-a_1}\right)\left(1+\dfrac{a_3a_2}{a_3-a_2}\right) \end {cases}$$ Demuestre que $$1 + |a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3| \le (1+|a_1|) (1+|a_2|)(1+|a_3|)$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $P$ un punto en la circunferencia circunscrita de un cuadrado $ABCD$. Encuentre todos los enteros $n > 0$ tales que la suma $$S_n(P) = |PA|^n + |PB|^n + |PC|^n + |PD|^n$$ es constante con respecto al punto $P$.

Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se encuentran en $P$ . El punto $Q$ se elige en el segmento $BC$ de modo que $PQ$ sea perpendicular a $AC$ . Demuestre que la línea que une los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $APD$ y $BQD$ es paralela a $AD$ .

Las longitudes de los lados $a,b,c$ de un triángulo $ABC$ son enteros positivos. Sea: $$T_{n}=(a+b+c)^{2n}-(a-b+c)^{2n}-(a+b-c)^{2n}+(a-b-c)^{2n}$$ para cualquier entero positivo $n$ . Si $\frac{T_{2}}{2T_{1}}=2023$ y $a>b>c$ , determine todos los perímetros posibles del triángulo $ABC$ .