Dado un tablero de tamaño $25\times 25$. Algunos cuadrados de $1\times 1$ están marcados, de modo que para cada subtablero de $13\times 13$ y $4\times 4$, hay al menos $\frac{1}{2}$ partes marcadas del subtablero. Encuentra la menor cantidad posible de cuadrados marcados en todo el tablero.

Se da un triángulo $ABC$. El segmento que conecta los puntos donde las circunferencias exinscritas tocan $AB$ y $AC$ se encuentra con la bisectriz del ángulo $C$ en $X$. El segmento que conecta los puntos donde las circunferencias exinscritas tocan $BC$ y $AC$ se encuentra con la bisectriz del ángulo $A$ en $Y$. Demuestra que el punto medio de $XY$ es equidistante de $A$ y $C$.

Todos los cuadrados perfectos, y todos los cuadrados perfectos multiplicados por dos, se escriben en una fila en orden creciente. Sea $f(n)$ el $n$ - ésimo número en esta secuencia. (Por ejemplo, $f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=8$.) ¿Existe un entero $n$ tal que todos los números\n\[f(n),f(2n),f(3n),\dots,f(10n^2)\]\nson cuadrados perfectos?

Chip y Dale juegan en una mesa de $100 \times 100$. Al principio, un rey de ajedrez se encuentra en la esquina superior izquierda de la mesa. En cada movimiento, el rey se mueve un cuadrado a la derecha, hacia abajo o en diagonal hacia la derecha-abajo. Un jugador no puede moverse en la dirección utilizada por su oponente en el movimiento anterior. Los jugadores se mueven por turnos, Chip comienza. El jugador que no puede moverse pierde. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora?

Demuestra que un entero positivo de la forma $n^4 +1$ puede tener más de $1000$ divisores de la forma $a^4 +1$ con $a$ entero.

Una fábrica de juguetes produce varios tipos de juguetes de arcilla. Los juguetes están pintados en $k$ colores. La diversidad de un color es el número de juguetes diferentes de ese color. (Por lo tanto, si hay $5$ gatos azules, $7$ ratones azules y nada más es azul, la diversidad del color azul es $2$.) El protocolo de pintura requiere que cada color se use y que las diversidades de cada dos colores sean diferentes. Los juguetes en la tienda podrían pintarse de acuerdo con el protocolo. Sin embargo, un lote de Cheburashkas de arcilla llegó a la tienda antes de pintar (no había Cheburashkas antes). El número de Cheburashkas no es menor que el número de juguetes de cualquier otro tipo. El número total de todos los juguetes, incluidos los Cheburashkas, es al menos $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$. Demuestra que ahora los juguetes se pueden pintar en $k + 1$ colores de acuerdo con el protocolo.

Se dan trinomios cuadráticos $f$ y $g$ con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$ existe un entero $k$ tal que\n\[\frac{f(k)}{g(k)}=\frac{n + 1}{n}.\]\nDemuestra que $f$ y $g$ tienen una raíz común.

La extensión de la bisectriz del ángulo $BL$ del triángulo $ABC$ (donde $AB < BC$) se encuentra con su circunferencia circunscrita en $N$. Sea $M$ el punto medio de $BL$. El triángulo isósceles $BDC$ con base $BC$ y ángulo igual a $ABC$ en $D$ se construye fuera del triángulo $ABC$. Demuestra que $CM \perp DN$.

Dado un tablero de tamaño $25\times 25$. Algunos cuadrados de $1\times 1$ están marcados, de modo que para cada subtablero de $13\times 13$ y $4\times 4$, hay al menos $\frac{1}{2}$ partes marcadas del subtablero. Encuentra la menor cantidad posible de cuadrados marcados en todo el tablero.

Se da un triángulo $ABC$. $N$ y $M$ son los puntos medios de $AB$ y $BC$, respectivamente. La bisectriz del ángulo $B$ se encuentra con el segmento $MN$ en $E$. $H$ es la base de la altura trazada desde $B$ en el triángulo $ABC$. El punto $T$ en la circunferencia circunscrita de $ABC$ es tal que las circunferencias circunscritas de $TMN$ y $ABC$ son tangentes. Demuestra que los puntos $T, H, E, B$ son concíclicos.