Sea $d \geq 1$ un entero que no es el cuadrado de un entero. Demuestre que para cada entero $n \geq 1,$ \[(n \sqrt d +1) \cdot | \sin(n \pi \sqrt d )| \geq 1\]

Sean $K$ y $K'$ dos cuadrados en el mismo plano, cuyos lados tienen la misma longitud. ¿Es posible descomponer $K$ en un número finito de triángulos $T_1, T_2, \ldots, T_p$ con interiores mutuamente disjuntos y encontrar traslaciones $t_1, t_2, \ldots, t_p$ tales que \[K'=\bigcup_{i=1}^{p} t_i(T_i) \ ? \]

Encuentre ocho enteros positivos $n_1, n_2, \dots , n_8$ con la siguiente propiedad: Para cada entero $k$ , $-1985 \leq k \leq 1985$ , hay ocho enteros $a_1, a_2, \dots, a_8$ , cada uno perteneciendo al conjunto $\{-1, 0, 1\}$ , tales que $k=\sum_{i=1}^{8} a_i n_i .$

Sea $\mathbb N = {1, 2, 3, . . .}$ . Para reales $x, y$ , sea $S(x, y) = \{s | s = [nx+y], n \in \mathbb N\}$ . Demuestre que si $r > 1$ es un número racional, existen números reales $u$ y $v$ tales que \[S(r, 0) \cap S(u, v) = \emptyset, S(r, 0) \cup S(u, v) = \mathbb N.\]

Los enteros positivos $x_1, \cdots , x_n$ , $n \geq 3$ , satisfacen $x_1 < x_2 <\cdots< x_n < 2x_1$ . Sea $P = x_1x_2 \cdots x_n.$ Demuestre que si $p$ es un número primo, $k$ un entero positivo, y $P$ es divisible por $p^k$ , entonces $\frac{P}{p^k} \geq n!.$

Sea $A$ un conjunto de enteros positivos tal que para cualesquiera dos elementos distintos $x, y\in A$ tenemos $|x-y| \geq \frac{xy}{25}.$ Demuestre que $A$ contiene a lo sumo nueve elementos. Dé un ejemplo de tal conjunto de nueve elementos.

Sea $T$ el conjunto de todos los puntos de la red (es decir, todos los puntos con coordenadas enteras) en el espacio tridimensional. Dos de estos puntos $(x, y, z)$ y $(u, v,w)$ se llaman vecinos si $|x - u| + |y - v| + |z - w| = 1$ . Demostrar que existe un subconjunto $S$ de $T$ tal que para cada $p \in T$ , hay exactamente un punto de $S$ entre $p$ y sus vecinos .

Resolver el sistema de ecuaciones simultáneas \n$$\sqrt x - \frac 1y - 2w + 3z = 1,$$ \n$$x + \frac{1}{y^2} - 4w^2 - 9z^2 = 3,$$ \n$$x \sqrt x - \frac{1}{y^3} - 8w^3 + 27z^3 = -5,$$ \n$$x^2 + \frac{1}{y^4} - 16w^4 - 81z^4 = 15.$$

Los círculos $(R, r)$ y $(P, \rho)$ , donde $r > \rho$ , son tangentes externamente en $A$ . Su tangente común directa toca a $(R, r)$ en B y a $(P, \rho)$ en $C$ . La línea $RP$ se encuentra con el círculo $(P, \rho)$ de nuevo en $D$ y con la línea $BC$ en $E$ . Si $|BC| = 6|DE|$ , demostrar que: (a) las longitudes de los lados del triángulo $RBE$ están en una progresión aritmética, y (b) $|AB| = 2|AC|.$

Sea \n$$A_n=\sum_{k=1}^n \frac{k^6}{2^k}.$$ \nEncontrar $\lim_{n\to\infty} A_n.$