Sean $x_1, x_2, \cdots , x_n$ números positivos. Demostrar que \n$$\frac{x_1^2}{x_1^2+x_2x_3} + \frac{x_2^2}{x_2^2+x_3x_4} + \cdots +\frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}^2+x_nx_1} +\frac{x_n^2}{x_n^2+x_1x_2} \leq n-1$$

Superchess se juega en un tablero de $12 \times 12$, y utiliza supercaballeros , que se mueven entre las celdas de las esquinas opuestas de cualquier subtablero de $3\times4$. ¿Es posible que un supercaballero visite cada celda de un supertablero de ajedrez exactamente una vez y regrese a su celda inicial?

Sea $k$ un entero positivo. Define $u_0 = 0, u_1 = 1$ , y $u_n=ku_{n-1}-u_{n-2} , n \geq 2.$ Demuestre que para cada entero $n$ , el número $u_1^3 + u_2^3 +\cdots+ u_n^3 $ es un múltiplo de $u_1 + u_2 +\cdots+ u_n.$

Encuentre el promedio de la cantidad \[(a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 +\cdots + (a_{n-1} -a_n)^2\] tomado sobre todas las permutaciones $(a_1, a_2, \dots , a_n)$ de $(1, 2, \dots , n).$

Encuentre el valor máximo de \[\sin^2 \theta_1+\sin^2 \theta_2+\cdots+\sin^2 \theta_n\] sujeto a las restricciones $0 \leq \theta_i , \theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n=\pi.$

Sean $a$ y $b$ enteros y $n$ un entero positivo. Demuestre que \[\frac{b^{n-1}a(a + b)(a + 2b) \cdots (a + (n - 1)b)}{n!}\] es un entero.

Se dan $m$ cajas, con algunas bolas en cada caja. Sea $n < m$ un entero dado. Se realiza la siguiente operación: elija $n$ de las cajas y ponga $1$ bola en cada una de ellas. Demuestre: (a) Si $m$ y $n$ son relativamente primos, entonces es posible, realizando la operación un número finito de veces, llegar a la situación en que todas las cajas contengan un número igual de bolas. (b) Si $m$ y $n$ no son relativamente primos, existen distribuciones iniciales de bolas en las cajas tales que no es posible lograr una distribución igual.

Un poliedro tiene $12$ caras y es tal que: (i) todas las caras son triángulos isósceles, (ii) todas las aristas tienen longitud $x$ o $y$, (iii) en cada vértice se encuentran $3$ o $6$ aristas, y (iv) todos los ángulos diedros son iguales. Encuentre la razón $x/y.$

Sea $K$ un conjunto convexo en el plano $xy$, simétrico con respecto al origen y con un área mayor que $4$. Demuestre que existe un punto $(m, n) \neq (0, 0)$ en $K$ tal que $m$ y $n$ son enteros.

Un cuadrilátero convexo está inscrito en un círculo de radio $1$. Demuestre que la diferencia entre su perímetro y la suma de las longitudes de sus diagonales es mayor que cero y menor que $2.$