Demostrar que un triángulo con ángulos $\alpha, \beta, \gamma$ , circunradio $R$ y área $A$ satisface \[\tan \frac{ \alpha}{2}+\tan \frac{ \beta}{2}+\tan \frac{ \gamma}{2} \leq \frac{9R^2}{4A}.\] Observación. ¿Podemos determinar todos los casos de igualdad?

Un círculo cuyo centro está en el lado $ED$ del cuadrilátero cíclico $BCDE$ toca los otros tres lados. Demuestre que $EB+CD = ED.$

Determinar si existen $100$ rectas distintas en el plano que tengan exactamente $1985$ puntos de intersección distintos.

Una secuencia de polinomios $P_m(x, y, z), m = 0, 1, 2, \cdots$, en $x, y$ y $z$ se define por $P_0(x, y, z) = 1$ y por \[P_m(x, y, z) = (x + z)(y + z)P_{m-1}(x, y, z + 1) - z^2P_{m-1}(x, y, z)\] para $m > 0$. Demuestre que cada $P_m(x, y, z)$ es simétrico, en otras palabras, no se altera por ninguna permutación de $x, y, z.$

Se da una rejilla rectangular plana y un 'punto racional' se define como un punto $(x, y)$ donde $x$ e $y$ son ambos números racionales. Sean $A,B,A',B'$ cuatro puntos racionales distintos. Sea $P$ un punto tal que $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'P}{BP} = \frac{PA'}{PA}.$ En otras palabras, los triángulos $ABP, A'B'P$ son directa u opuestamente similares. Demuestra que $P$ es en general un punto racional y encuentra las posiciones excepcionales de $A'$ y $B'$ relativas a $A$ y $B$ tales que existe un $P$ que no es un punto racional.

Una colección de $2n$ letras contiene $2$ de cada una de $n$ letras diferentes. La colección se divide en $n$ pares, cada par contiene $2$ letras, que pueden ser iguales o diferentes. Denotemos el número de particiones distintas por $u_n$. (Las particiones que difieren en el orden de los pares en la partición o en el orden de las dos letras en los pares no se consideran distintas). Demuestre que $u_{n+1}=(n+1)u_n - \frac{n(n-1)}{2} u_{n-2}.$ Problema similar : Un paquete de $2n$ cartas contiene $n$ pares de $2$ cartas idénticas. Se barajan y se reparten $2$ cartas a cada uno de los $n$ jugadores diferentes. Sea $p_n$ la probabilidad de que a cada uno de los $n$ jugadores se le repartan dos cartas idénticas. Demuestre que $\frac{1}{p_{n+1}}=\frac{n+1}{p_n} + \frac{n(n-1)}{2p_{n-2}}.$

Sean $E_1, E_2$ y $E_3$ tres elipses que se intersecan mutuamente, todas en el mismo plano. Sus focos son respectivamente $F_2, F_3; F_3, F_1;$ y $F_1, F_2$. Los tres focos no están en una línea recta. Demuestre que las cuerdas comunes de cada par de elipses son concurrentes.

a) Sea $M$ el conjunto de las longitudes de las aristas de un octaedro cuyos lados son cuadriláteros congruentes. Demuestra que $M$ tiene a lo sumo tres elementos.\nb) Sea un octaedro cuyos lados son cuadriláteros congruentes. Demuestra que cada uno de estos cuadriláteros tiene dos lados iguales que se encuentran en un vértice común.

a) Llama a un número de cuatro dígitos $(xyzt)_B$ en el sistema numérico con base $B$ estable si $(xyzt)_B = (dcba)_B - (abcd)_B$ , donde $a \leq b \leq c \leq d$ son los dígitos de $(xyzt)_B$ en orden ascendente. Determina todos los números estables en el sistema numérico con base $B.$\nb) Con las suposiciones como en a , determina el número de bases $B \leq 1985$ tales que existe un número estable con base $B.$

Sea $O$ un punto en el plano euclidiano orientado y $(\mathbf i, \mathbf j)$ una base ortonormal directamente orientada. Sea $C$ el círculo de radio $1$, centrado en $O$. Para cada número real $t$ y entero no negativo $n$, sea $M_n$ el punto en $C$ para el cual $\langle \mathbf i , \overrightarrow{OM_n} \rangle = \cos 2^n t.$ (o $\overrightarrow{OM_n} =\cos 2^n t \mathbf i +\sin 2^n t \mathbf j$ ) . Sea $k \geq 2$ un entero. Encuentra todos los números reales $t \in [0, 2\pi)$ que satisfacen (i) $M_0 = M_k$ , y (ii) si uno comienza desde $M0$ y da una vuelta alrededor de $C$ en la dirección positiva, uno se encuentra sucesivamente con los puntos $M_0,M_1, \dots,M_{k-2},M_{k-1}$ , en este orden.