Sea $ABCD$ un rombo con ángulo $\angle A = 60^\circ$. Sea $E$ un punto, diferente de $D$, en la línea $AD$. Las líneas $CE$ y $AB$ se intersecan en $F$. Las líneas $DF$ y $BE$ se intersecan en $M$. Determine el ángulo $\angle BMD$ como una función de la posición de $E$ en $AD$.

Los puntos $A,B,C$ están en este orden en la línea $D$ , y $AB = 4BC$ . Sea $M$ un punto variable en la perpendicular a $D$ a través de $C$ . Sean $MT_1$ y $MT_2$ tangentes al círculo con centro $A$ y radio $AB$ . Determine el lugar geométrico del ortocentro del triángulo $MT_1T_2.$

Sea $S_n = \sum_{p=1}^n (p^5+p^7)$ . Determine el máximo común divisor de $S_n$ y $S_{3n}.$

Para cada $P$ dentro del triángulo $ABC$ , sean $A(P), B(P)$ , y $C(P)$ los puntos de intersección de las líneas $AP, BP$ , y $CP$ con los lados opuestos a $A, B$ , y $C$ , respectivamente. Determine $P$ de tal manera que el área del triángulo $A(P)B(P)C(P)$ sea lo más grande posible.

En el triángulo $ABC$ , sea $B_1$ en $AC, E$ en $AB, G$ en $BC$ , y sea $EG$ paralelo a $AC$ . Además, sea $EG$ tangente al círculo inscrito del triángulo $ABB_1$ e interseca a $BB_1$ en $F$ . Sean $r, r_1$ , y $r_2$ los inradios de los triángulos $ABC, ABB_1$ , y $BFG$ , respectivamente. Demuestre que $r = r_1 + r_2.$

Sea $f_1 = (a_1, a_2, \dots , a_n) , n > 2$ , una secuencia de enteros. A partir de $f_1$ se construye una secuencia $f_k$ de secuencias de la siguiente manera: si $f_k = (c_1, c_2, \dots, cn)$ , entonces $f_{k+1} = (c_{i_{1}}, c_{i_{2}}, c_{i_{3}} + 1, c_{i_{4}} + 1, . . . , c_{i_{n}} + 1)$ , donde $(c_{i_{1}}, c_{i_{2}},\dots , c_{i_{n}})$ es una permutación de $(c_1, c_2, \dots, c_n)$ . Dé una condición necesaria y suficiente para $f_1$ bajo la cual es posible que $f_k$ sea una secuencia constante $(b_1, b_2,\dots , b_n), b_1 = b_2 =\cdots = b_n$ , para alguna $k.$

Desde cada uno de los vértices de un $n$ -gono regular, un coche comienza a moverse con velocidad constante a lo largo del perímetro del $n$ -gono en la misma dirección. Demuestre que si todos los coches terminan en un vértice $A$ al mismo tiempo, entonces nunca más se encontrarán en ningún otro vértice del $n$ -gono. ¿Pueden volver a encontrarse en $A$ ?

Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $26$ , demuestre que el conjunto tiene cuatro elementos distintos cuya media geométrica es un entero.

En un país dado, todos los habitantes son caballeros o bribones. Un caballero nunca miente; un bribón siempre miente. Conocemos a tres personas, $A, B$ y $C$. La persona $A$ dice: 'Si $C$ es un caballero, $B$ es un bribón'. La persona $C$ dice: '$A$ y yo somos diferentes; uno es un caballero y el otro es un bribón'. ¿Quiénes son los caballeros y quiénes son los bribones?

Sea $F$ la correspondencia que asocia a cada punto $P = (x, y)$ el punto $P' = (x', y')$ tal que\n$ x'= ax + b,\qquad y'= ay + 2b. \qquad (1)$\nDemuestre que si $a \neq 1$ , todas las líneas $PP'$ son concurrentes. Encuentre la ecuación del conjunto de puntos correspondientes a $P = (1, 1)$ para $b = a^2$. Demuestre que la composición de dos mapeos de tipo $(1)$ es del mismo tipo.