Sea $D$ el interior del círculo $C$ y sea $A \in C$. Demuestre que la función $f : D \to \mathbb R, f(M)=\frac{|MA|}{|MM'|}$ donde $M' = AM \cap C$, es estrictamente convexa; es decir, $f(P) <\frac{f(M_1)+f(M_2)}{2}, \forall M_1,M_2 \in D, M_1 \neq M_2$ donde $P$ es el punto medio del segmento $M_1M_2$.

Defina las funciones $f, F : \mathbb N \to \mathbb N$ , por \[f(n)=\left[ \frac{3-\sqrt 5}{2} n \right] , F(k) =\min \{n \in \mathbb N|f^k(n) > 0 \},\] donde $f^k = f \circ \cdots \circ f$ es $f$ iterada $n$ veces. Demuestre que $F(k + 2) = 3F(k + 1) - F(k)$ para todo $k \in \mathbb N.$

Sea $p$ un primo. ¿Para qué $k$ se puede particionar el conjunto $\{1, 2, \dots , k\}$ en $p$ subconjuntos con sumas de elementos iguales?

Sea $x_n = \sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}.$ Demuestre que \[x_{n+1}-x_n <\frac{1}{n!} \quad n=2,3,\cdots\]

Un disco circular 'grande' está adherido a una pared vertical. Gira en el sentido de las agujas del reloj con una revolución por minuto. Un insecto aterriza en el disco e inmediatamente comienza a trepar verticalmente hacia arriba con una velocidad constante de $\frac{\pi}{3}$ cm por segundo (relativo al disco). Describa la trayectoria del insecto (a) en relación con el disco; (b) en relación con la pared.

Considere el conjunto $A = \{0, 1, 2, \dots , 9 \}$ y sea $(B_1,B_2, \dots , B_k)$ una colección de subconjuntos no vacíos de $A$ tal que $B_i \cap B_j$ tiene a lo sumo dos elementos para $i \neq j$. ¿Cuál es el valor máximo de $k$ ?

La secuencia $(s_n)$, donde $s_n= \sum_{k=1}^n \sin k$ para $n = 1, 2,\dots$ está acotada. Encuentre una cota superior e inferior.

Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i-0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Pruebe que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_{1}}+Q_{i_{2}}+\ldots+Q_{i_{n}})\ge o(Q_{i_{1}}). \]

Pruebe que hay infinitos pares $(k,N)$ de enteros positivos tales que $1 + 2 + \cdots + k = (k + 1) + (k + 2)+\cdots + N.$

a) El sólido $S$ se define como la intersección de las seis esferas con las seis aristas de un tetraedro regular $T$, con longitud de arista $1$, como diámetros. Pruebe que $S$ contiene dos puntos a una distancia $\frac{1}{\sqrt 6}.$ \nb) Usando las mismas suposiciones en a), pruebe que ningún par de puntos en $S$ tiene una distancia mayor que $\frac{1}{\sqrt 6}.$