En la figura adyacente, ¿se pueden colocar los números $1,2,3, 4,..., 18$, uno en cada segmento de línea, de modo que la suma de los números en los tres segmentos de línea que se encuentran en cada punto sea divisible por $3$ ?

Sea $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro. Sea el incírculo de $ABC$ que toca a $BC$ en $D$ . Sea el incírculo del triángulo $ABD$ que toca a $AB$ en $E$ y el incírculo del triángulo $ACD$ que toca a $BC$ en $F$ . Demuestra que $B,E,I,F$ son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con inradio $1$ . Encuentra el área mínima del triángulo $ABC$

Sean $m,n$ números naturales con $m>n$ . Encuentra todos los pares de $(m,n) $ tales que $gcd(n+1,m+1)=gcd(n+2,m+2) =..........=gcd(m, 2m-n) = 1 $

Sean $x,y$ números reales positivos. Demuestra que $ 4x^4+4y^3+5x^2+y+1\geq 12xy $

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles que tiene un incírculo con $AB$ paralelo a $CD$ . Sea $CE$ la perpendicular de $C$ sobre $AB$ . Demuestra que $ CE^2 = AB. CD $

Para cualquier número natural, sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n$ . Encuentra el número de números de $3$ dígitos para los cuales $S(S(n)) = 2$ .

Sea $ABC$ un triángulo y sea $X$ en $BC$ tal que $AX=AB$ . sea $AX$ que se encuentra con la circunferencia $\omega$ del triángulo $ABC$ de nuevo en $D$ . Demuestra que el circuncentro del triángulo $BDX$ se encuentra en $\omega$ .

Encuentra todos los reales positivos $x,y,z $ tales que \[2x-2y+\dfrac1z = \dfrac1{2014},\hspace{0.5em} 2y-2z +\dfrac1x = \dfrac1{2014},\hspace{0.5em}\text{and}\hspace{0.5em} 2z-2x+ \dfrac1y = \dfrac1{2014}.\]

Demuestra que para cualquier número natural $n < 2310 $ , $n(2310-n)$ no es divisible por $2310$ .