Sea $C$ la curva determinada por la ecuación $y = x^3$ en el sistema de coordenadas rectangulares. Sea $t$ la tangente a $C$ en un punto $P$ de $C$ ; $t$ interseca a $C$ en otro punto $Q$. Encuentre la ecuación del conjunto $L$ de los puntos medios $M$ de $PQ$ cuando $P$ describe $C$. ¿Es la correspondencia que asocia $P$ y $M$ una biyección de $C$ sobre $L$? Encuentre una similitud que transforme $C$ en $L$.

Dos personas, $X$ e $Y$, juegan con un dado. $X$ gana un juego si el resultado es $1$ o $2$; $Y$ gana en los otros casos. Un jugador gana un partido si gana dos juegos consecutivos. Para cada jugador determine la probabilidad de ganar un partido dentro de $5$ juegos. Determine las probabilidades de ganar en un número ilimitado de juegos. Si $X$ apuesta $1$, ¿cuánto debe apostar $Y$ para que el juego sea justo?

¿Para qué enteros $n \geq 3$ existe un $n$-gono regular en el plano tal que todos sus vértices tienen coordenadas enteras en un sistema de coordenadas rectangulares?

Un conjunto de $1985$ puntos se distribuyen alrededor de la circunferencia de un círculo y cada uno de los puntos está marcado con $1$ o $-1$. Un punto se llama 'bueno' si las sumas parciales que se pueden formar comenzando en ese punto y avanzando alrededor del círculo para cualquier distancia en cualquier dirección son todas estrictamente positivas. Demuestre que si el número de puntos marcados con $-1$ es menor que $662$, debe haber al menos un punto bueno.

Suponga que se dan $1985$ puntos dentro de un cubo unitario. Demuestre que siempre se pueden elegir $32$ de ellos de tal manera que todo polígono cerrado (posiblemente degenerado) con estos puntos como vértices tenga una longitud total de menos de $8 \sqrt 3$.

Demuestre que el producto de dos lados de un triángulo es siempre mayor que el producto de los diámetros del círculo inscrito y el círculo circunscrito.

Cada uno de los números $x_1, x_2, \dots, x_n$ es igual a $1$ o $-1$ y \[\sum_{i=1}^n x_i x_{i+1} x_{i+2} x_{i+3} =0.\] donde $x_{n+i}=x_i $ para todo $i$ . Demostrar que $4\mid n$ .

Dado un triángulo $ABC$ y puntos externos $X, Y$ y $Z$ tales que $\angle BAZ = \angle CAY , \angle CBX = \angle ABZ$ y $\angle ACY = \angle BCX$ , demostrar que $AX,BY$ y $CZ$ son concurrentes.

Las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ se intersecan en $X$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Demostrar que (a) $\angle BAM = \angle CAX$ , y (b) $\frac{AM}{AX} = \cos\angle BAC.$

Llamamos a una coloración $f$ de los elementos en el conjunto $M = \{(x, y) | x = 0, 1, \dots , kn - 1; y = 0, 1, \dots , ln - 1\}$ con $n$ colores admisible si cada color aparece exactamente $k$ y $l$ veces en cada fila y columna y no hay rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas tales que todos los vértices en $M$ tienen el mismo color. Demuestre que cada coloración admisible $f$ satisface $kl \leq n(n + 1).$