Para enteros positivos $m,n \geq 2$, sea $S_{m,n} = \{(i,j): i \in \{1,2,\ldots,m\}, j\in \{1,2,\ldots,n\}\}$ una cuadrícula de $mn$ puntos reticulares en el plano coordenado. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales existe un polígono simple $P$ con vértices en $S_{m,n}$ tal que todos los puntos en $S_{m,n}$ están en la frontera de $P$, todos los ángulos interiores de $P$ son o bien $90^{\circ}$ o $270^{\circ}$ y todas las longitudes de los lados de $P$ son $1$ o $3$.

Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existe una configuración de $n$ puntos en el plano, no tres colineales, que pueden ser etiquetados $1$ a $n$ de dos maneras diferentes, de modo que se cumpla la siguiente condición: Para cada triple $(i,j,k), 1 \leq i < j < k \leq n$, el triángulo $ijk$ en una etiqueta tiene la misma orientación que el triángulo etiquetado $ijk$ en la otra, excepto para $(i,j,k) = (1,2,3)$.

Fijar un entero $n \geq 2$ y sean $a_1, \ldots, a_n$ enteros, donde $a_1 = 1$. Sea $$ f(x) = \sum_{m=1}^n a_mm^x. $$ Suponga que $f(x) = 0$ para algún $K$ valores enteros positivos consecutivos de $x$. En términos de $n$, determinar el valor máximo posible de $K$.

Determinar todos los polinomios $P$ con coeficientes reales que satisfacen la siguiente condición: siempre que $x$ e $y$ sean números reales tales que $P(x)$ y $P(y)$ sean ambos racionales, también lo es $P(x + y)$.

Demostrar que existe un conjunto $ A$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: para cualquier conjunto infinito $ S$ de primos, existen dos enteros positivos $ m$ en $ A$ y $ n$ no en $ A$, cada uno de los cuales es un producto de $ k$ elementos distintos de $ S$ para algún $ k \geq 2$.

Sea $S$ el conjunto de todos los números reales estrictamente mayores que −1. Hallar todas las funciones $ f: S \to S$ que satisfacen las dos condiciones:\n(a) $ f(x + f(y) + xf(y)) = y + f(x) + yf(x)$ para todo $ x, y$ en $ S$ ;\n(b) $ \frac {f(x)}{x}$ es estrictamente creciente en cada uno de los dos intervalos $ - 1 < x < 0$ y $ 0 < x$.

Hallar todos los pares ordenados $ (m,n)$ donde $ m$ y $ n$ son enteros positivos tales que $ \frac {n^3 + 1}{mn - 1}$ es un entero.

Para cualquier entero positivo $k$, sea $f_k$ el número de elementos en el conjunto $\{k + 1, k + 2, \ldots, 2k\}$ cuya representación en base 2 contiene exactamente tres 1s.\n(a) Demostrar que para cualquier entero positivo $m$, existe al menos un entero positivo $k$ tal que $f(k) = m$.\n(b) Determinar todos los enteros positivos $m$ para los cuales existe exactamente un $k$ con $f(k) = m$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$. $M$ es el punto medio de $BC$ y $O$ es el punto en la recta $AM$ tal que $OB$ es perpendicular a $AB$. $Q$ es un punto arbitrario en $BC$ diferente de $B$ y $C$. $E$ está en la recta $AB$ y $F$ está en la recta $AC$ tales que $E, Q, F$ son distintos y colineales. Demostrar que $OQ$ es perpendicular a $EF$ si y sólo si $QE = QF$.

Sean $m$ y $n$ dos enteros positivos. Sean $a_1, a_2, \ldots, a_m$, $m$ números distintos del conjunto $\{1, 2,\ldots, n\}$ tales que para cualesquiera dos índices $i$ y $j$ con $1\leq i \leq j \leq m$ y $a_i + a_j \leq n$, existe un índice $k$ tal que $a_i + a_j = a_k$. Demostrar que\n\[ \frac {a_1 + a_2 + ... + a_m}{m} \geq \frac {n + 1}{2}.\n\]