Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Denotamos por $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para cada $x,y\in\mathbb R$ Encuentre todos los números racionales $q$ tales que para cada función $f\in\mathcal F$, existe algún $z\in\mathbb R$ que satisface $f(z)=qz$.

Suponga que un triángulo acutángulo escaleno $ABC$ tiene incentro $I$ y el incírculo tocando $BC$ en $D$. Sea $Z$ el antípoda de $A$ en el circuncírculo de $ABC$. El punto $L$ se elige en la bisectriz interna del ángulo $\angle BZC$ tal que $AL = LI$. Sea $M$ el punto medio del arco $BZC$, y sea $V$ el punto medio de $ID$. Pruebe que $\angle IML = \angle DVM$

En el triángulo $ABC$, con ortocentro $H$ y circuncírculo $\Gamma$, la bisectriz del ángulo $BAC$ se encuentra con $\overline{BC}$ en $K$. El punto $Q$ se encuentra en $\Gamma$ tal que $\overline{AQ} \perp \overline{QK}$. El circuncírculo de $\triangle AQH$ se encuentra con $\overline{AC}$ en $Y$ y $\overline{AB}$ en $Z$. Sean $\overline{BY}$ y $\overline{CZ}$ se encuentran en $T$. Pruebe que $\overline{TH} \perp \overline{KA}$

En una escuela, cada par de estudiantes son o amigos o extraños. La amistad es mutua, y ningún estudiante es amigo de sí mismo. Una secuencia de estudiantes (no necesariamente distintos) $A_1, A_2, \dots, A_{2023}$ es llamada traviesa si $\bullet$ El número total de amigos de $A_1$ es impar. $\bullet$ $A_i$ y $A_{i+1}$ son amigos para $i=1, 2, \dots, 2022$ . $\bullet$ El número total de amigos de $A_{2023}$ es par. Demuestre que el número total de secuencias traviesas es par.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que $f(x) + y$ y $f(y) + x$ tienen el mismo número de $1$'s en sus representaciones binarias, para cualquier $x,y \in \mathbb{N}$.

En el triángulo $ABC$, sea $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ a la recta $BC$. El punto $K$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$ tal que $\angle KAB = \angle KCA$ y $\angle KAC = \angle KBA$. La línea que pasa por $K$ perpendicular a la recta $DK$ se encuentra con el círculo con diámetro $BC$ en los puntos $X,Y$. Pruebe que $AX \cdot DY = DX \cdot AY$

Sea $\mathbb{Z}_{\ge 0}$ el conjunto de enteros no negativos y $\mathbb{R}^+$ el conjunto de números reales positivos. Sea $f: \mathbb{Z}_{\ge 0}^2 \rightarrow \mathbb{R}^+$ una función tal que $f(0, k) = 2^k$ y $f(k, 0) = 1$ para todo entero $k \ge 0$, y $$f(m, n) = \frac{2f(m-1, n) \cdot f(m, n-1)}{f(m-1, n)+f(m, n-1)}$$ para todo entero $m, n \ge 1$. Pruebe que $f(99, 99)<1.99$.

Para cualquier número natural $n$ , ( $n \geq 3$ ) , sea $f(n)$ denote el número de triángulos congruentes de lados enteros con perímetro $n$ . Demuestre que (i) $f(1999) > f (1996)$ ; (ii) $f(2000) = f(1997)$ .

Sean $a,b,c$ tres números reales tales que $1 \geq a \geq b \geq c \geq 0$ . pruebe que si $\lambda$ es una raíz de la ecuación cúbica $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (real o compleja), entonces $| \lambda | \leq 1.$

En un cuadrilátero convexo $PQRS$ , $PQ =RS$ , $(\sqrt{3} +1 )QR = SP$ y $\angle RSP - \angle SQP = 30^{\circ}$ . Pruebe que $\angle PQR - \angle QRS = 90^{\circ}.$