Hay $256$ jugadores en un torneo de tenis que están clasificados del $1$ al $256$, siendo $1$ la clasificación más alta y $256$ la clasificación más baja. Cuando dos jugadores juegan un partido en el torneo, el jugador cuya clasificación es más alta gana el partido con una probabilidad de $\frac{3}{5}$. En cada ronda del torneo, el jugador con la clasificación más alta juega contra el jugador con la segunda clasificación más alta, el jugador con la tercera clasificación más alta juega contra el jugador con la cuarta clasificación más alta, y así sucesivamente. Al final de la ronda, los jugadores que ganan pasan a la siguiente ronda y los jugadores que pierden abandonan el torneo. Después de ocho rondas, queda un jugador y se le declara ganador. Determine el valor esperado del rango del ganador.

Encuentre el número real positivo más pequeño $r$ con la siguiente propiedad: Para cada elección de $2023$ vectores unitarios $v_1,v_2, \dots ,v_{2023} \in \mathbb{R}^2$ , se puede encontrar un punto $p$ en el plano tal que para cada subconjunto $S$ de $\{1,2, \dots , 2023\}$ , la suma $$\sum_{i \in S} v_i$$ se encuentra dentro del disco $\{x \in \mathbb{R}^2 : ||x-p|| \leq r\}$ .

Sean $x_0, x_1, x_2 \dots$ una secuencia de números reales positivos tales que para toda $n \geq 0$ , $$x_{n+1} = \dfrac{(n^2+1)x_n^2}{x_n^3+n^2}$$ ¿Para qué valores de $x_0$ está acotada esta secuencia?

Para cada entero positivo $n$ , sea $f(n)$ denote el valor más pequeño posible de $$|A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n|$$ donde $A_1, A_2, A_3 \dots A_n$ son conjuntos tales que $A_i \not\subseteq A_j$ y $|A_i| \neq |A_j|$ siempre que $i \neq j$ . Determine $f(n)$ para cada entero positivo $n$.

Sea $n$ un entero positivo y sean $f_1(x), f_2(x) \dots f_n(x)$ funciones afines de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ tales que, entre las gráficas de estas funciones, no hay dos paralelas y no hay tres concurrentes. Sea $S$ el conjunto de todas las funciones convexas $g(x)$ de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ tales que para cada $x \in \mathbb{R}$ , existe $i$ tal que $g(x) = f_i(x)$. Determine los valores más grandes y más pequeños posibles de $|S|$ en términos de $n$. (Una función $f(x)$ es afín si es de la forma $f(x) = ax + b$ para algunos $a, b \in \mathbb{R}$. Una función $g(x)$ es convexa si $g(\lambda x + (1 - \lambda) y) \leq \lambda g(x) + (1-\lambda)g(y)$ para todos $x, y \in \mathbb{R}$ y $0 \leq \lambda \leq 1$ )

Para cada entero no negativo $k$ sea $S(k)$ la suma de los dígitos decimales de $k$. Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios con coeficientes enteros no negativos tales que $S(P(n)) = S(Q(n))$ para todos los enteros no negativos $n$. Demuestre que existe un entero $t$ tal que $P(x) - 10^tQ(x)$ es un polinomio constante.

Sea $n$ un entero positivo. Sea $S$ un conjunto de pares ordenados $(x, y)$ tales que $1\leq x \leq n$ y $0 \leq y \leq n$ en cada par, y no hay pares $(a, b)$ y $(c, d)$ de elementos diferentes en $S$ tales que $a^2+b^2$ divida tanto a $ac+bd$ como a $ad - bc$. En términos de $n$, determine el tamaño del conjunto $S$ más grande posible.

Se elige un punto $P$ dentro de un triángulo $ABC$ con circuncírculo $\Omega$. Sea $\Gamma$ el círculo que pasa por los circuncentros de los triángulos $APB$, $BPC$ y $CPA$. Sean $\Omega$ y $\Gamma$ se intersecan en los puntos $X$ e $Y$. Sea $Q$ la reflexión de $P$ en la recta $XY$. Demuestre que $\angle BAP = \angle CAQ$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $DA$ y $BC$ se intersecan en $E$ y sean $AB$ y $CD$ se intersecan en $F$. Asuma que $A, E, F$ yacen en el mismo lado de $BD$. Sea $P$ en el segmento $DA$ tal que $\angle CPD = \angle CBP$, y sea $Q$ en el segmento $CD$ tal que $\angle DQA = \angle QBA$. Sean $AC$ y $PQ$ se intersecan en $X$. Demuestre que, si $EX = EP$, entonces $EF$ es perpendicular a $AC$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. El circuncírculo del triángulo $ADI$ cruza $\omega$ de nuevo en $P$, y las rectas $PE$ y $PF$ cruzan $\omega$ de nuevo en $X$ y $Y$, respectivamente. Demuestre que las rectas $AI$, $BX$ y $CY$ son concurrentes.