Hay $256$ jugadores en un torneo de tenis que están clasificados del $1$ al $256$, siendo $1$ la clasificación más alta y $256$ la clasificación más baja. Cuando dos jugadores juegan un partido en el torneo, el jugador cuya clasificación es más alta gana el partido con una probabilidad de $\frac{3}{5}$. En cada ronda del torneo, el jugador con la clasificación más alta juega contra el jugador con la segunda clasificación más alta, el jugador con la tercera clasificación más alta juega contra el jugador con la cuarta clasificación más alta, y así sucesivamente. Al final de la ronda, los jugadores que ganan pasan a la siguiente ronda y los jugadores que pierden abandonan el torneo. Después de ocho rondas, queda un jugador y se le declara ganador. Determine el valor esperado del rango del ganador.