Sean $x,y,z$ y $a,b,c$ números reales positivos con $a+b+c=1$ . Pruebe que $$\left(x^2+y^2+z^2\right) \left( \frac{a^3}{x^2+2y^2} + \frac{b^3}{y^2+2z^2} + \frac{c^3}{z^2+2x^2} \right) \ge\frac19.$$

Un conjunto $S$ de enteros es Balear, si hay dos elementos (no necesariamente distintos) $s,s'\in S$ cuya suma $s+s'$ es una potencia de dos; de lo contrario, se llama un conjunto no Balear. Encuentre un entero $n$ tal que $\{1,2,\ldots,n\}$ contiene un conjunto no balear de 99 elementos, mientras que todos los subconjuntos de 100 elementos son baleares.

Determine el entero más pequeño $n$ para el cual existen enteros $x_1,\ldots,x_n$ y enteros positivos $a_1,\ldots,a_n$ tales que \n\begin{align*}\nx_1+\cdots+x_n &=0,\\\na_1x_1+\cdots+a_nx_n&>0, \text{ y }\\\na_1^2x_1+\cdots+a_n^2x_n &<0.\n\end{align*}

Sea $ABC$ un triángulo equilátero, y sea $P$ algún punto en su circuncírculo. Determine todos los enteros positivos $n$ , para los cuales el valor de la suma $S_n (P) = |PA|^n + |PB|^n + |PC|^n$ es independiente de la elección del punto $P$ .

Sean $x, y, z > -1$ . Demuestra que\n\[ \frac{1+x^2}{1+y+z^2} + \frac{1+y^2}{1+z+x^2} + \frac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq 2. \]

Sean $D$ , $E$ , $F$ los puntos medios de los arcos $BC$ , $CA$ , $AB$ en la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ que no contiene los puntos $A$ , $B$ , $C$ , respectivamente. Sea la línea $DE$ que se encuentra con $BC$ y $CA$ en $G$ y $H$ , y sea $M$ el punto medio del segmento $GH$ . Sea la línea $FD$ que se encuentra con $BC$ y $AB$ en $K$ y $J$ , y sea $N$ el punto medio del segmento $KJ$ .\na) Encuentra los ángulos del triángulo $DMN$ ;\nb) Demuestra que si $P$ es el punto de intersección de las líneas $AD$ y $EF$ , entonces el circuncentro del triángulo $DMN$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $PMN$ .

Suponga que hay $n$ puntos en un plano, no tres de los cuales son colineales, con la propiedad de que si etiquetamos estos puntos como $A_1,A_2,\ldots,A_n$ de cualquier manera, la línea quebrada $A_1A_2\ldots A_n$ no se interseca a sí misma. Encuentra el valor máximo de $n$.

Sea $n$ un entero positivo. Un número $A$ consiste de $2n$ dígitos, cada uno de los cuales es 4; y un número $B$ consiste de $n$ dígitos, cada uno de los cuales es 8. Demuestra que $A+2B+4$ es un cuadrado perfecto.

(El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente.) Sea $n$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Encuentre todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existe un número real positivo $r$ , tal que $$r^a+\sqrt{n} \ \ \text{and} \ \ r^b+\sqrt{n}$$ son ambos números racionales. Sea $n$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Encuentre todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existe un número real $r$ , tal que $$r^a+\sqrt{n} \ \ \text{and} \ \ r^b+\sqrt{n}$$ son ambos números racionales.

Sea $n$ un entero positivo. Sean $A,B,$ y $C$ tres subespacios vectoriales de dimensión $n$ de $\mathbb{R}^{2n}$ con la propiedad de que $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \{0\}$. Demuestre que existen bases $\{a_1,a_2, \dots, a_n\}$ de $A$ , $\{b_1,b_2, \dots, b_n\}$ de $B$ , y $\{c_1,c_2, \dots, c_n\}$ de $C$ con la propiedad de que para cada $i \in \{1,2, \dots, n\}$ , los vectores $a_i,b_i,$ y $c_i$ son linealmente dependientes.