Considere una cuadrícula cuadrada de $ n\times n $ que se divide en $ n^2 $ cuadrados unitarios (piense en un tablero de ajedrez). El conjunto de todos los cuadrados unitarios que se intersecan con la diagonal principal del cuadrado o que se encuentran debajo de ella se denomina $n$ - escalera. Encuentre el número de formas en que una $n$ - escalera se puede dividir en varios rectángulos, con lados a lo largo de las líneas de la cuadrícula, que tienen áreas mutuamente distintas.

Pruebe que para ningún entero $ n$ , $ n^7 + 7$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC \parallel AE,$ $AB = BC + AE,$ y $\angle ABC = \angle CDE.$ Sea $M$ el punto medio de $CE,$ y sea $O$ el circuncentro del triángulo $BCD.$ Dado que $\angle DMO = 90^{\circ},$ pruebe que $2 \angle BDA = \angle CDE.$

Sea $T$ un subconjunto finito no vacío de enteros positivos $\ge 1$ . Un subconjunto $S$ de $T$ se llama bueno si para cada entero $t\in T$ existe un $s$ en $S$ tal que $gcd(t,s) >1$ . Sea \[A={(X,Y)\mid X\subseteq T,Y\subseteq T,gcd(x,y)=1 \text{para todo} x\in X, y\in Y}\] Pruebe que : $a)$ Si $X_0$ no es bueno entonces el número de pares $(X_0,Y)$ en $A$ es par . $b)$ el número de subconjuntos buenos de $T$ es impar .

Suponga que $a_1,\ldots,a_n$ son números reales no enteros para $n\geq 2$ tal que ${a_1}^k+\ldots+{a_n}^k$ es un entero para todos los enteros $1\leq k\leq n$ . Pruebe que ninguno de $a_1,\ldots,a_n$ es racional.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ que satisfacen las condiciones $a)n^2=(a+1)^3-a^3$ $b)2n+119$ es un cuadrado perfecto.

¿Existe una función $f:[0,1]\rightarrow (0,\infty)$ tal que $f$ sea diferenciable en $[0,1]$? Su derivada $f'$ es continua en $[0,1]$. $(f'(x))^3-x^{\frac{1}{3}}>6(1-f(x)^{\frac{1}{5}})$ para todo $x\in [0,1]$. $f(1)=1$

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todas $x,y\in \mathbb{R}$ , \[xf(y+x)+(y+x)f(y)=f(x^2+y^2)+2f(xy)\]

Alicia y Bob juegan un juego en un grafo conexo con $2n$ vértices, donde $n\in \mathbb{N}$ y $n>1$. Alicia y Bob tienen fichas llamadas A y B respectivamente. Alternan sus turnos, comenzando Alicia. Alicia decide las posiciones iniciales de A y B. En cada movimiento, el jugador en turno mueve su ficha a un vértice adyacente. El objetivo de Bob es atrapar a Alicia, y el objetivo de Alicia es evitar esto. Tenga en cuenta que las posiciones de A, B son visibles para ambos jugadores en todo momento. Si ambos juegan de manera óptima, ¿cuál es el número máximo posible de aristas en el grafo si Alicia puede evadir a Bob indefinidamente?

Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en $\{0, 1\}$. Suponga que $a, b$ son enteros no nulos tales que para cada $f \in \mathcal{P}$ con $f(a)\neq 0$, tenemos $f(a) \mid f(b)$. Demuestre que $a=b$.