Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo equilátero con altura $1$ , y sean $x,y,z$ las distancias desde $P$ a los tres lados del triángulo. Demuestre que \[ x^2+y^2+z^2 ~\ge~ x^3+y^3+z^3 +6xyz \]

Demuestre que existen infinitos enteros positivos $x,y,z$ para los cuales la suma de los dígitos en la representación decimal de $~4x^4+y^4-z^2+4xyz$ $~$ es como máximo $2$ .

Sean $m_1<m_2<\cdots<m_s$ una secuencia de $s\ge2$ enteros positivos, ninguno de los cuales puede escribirse como la suma de (dos o más) otros números distintos en la secuencia. Para cada entero $r$ con $1\le r<s$ , demuestre que \[ r\cdot m_r+m_s ~\ge~ (r+1)(s-1). \]

Sea $\Delta ABC$ un triángulo con ángulo $\angle CAB=60^{\circ}$ , sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo en $A$ y el lado $BC$ , y sean $r_B,r_C,r$ los radios respectivos de las circunferencias inscritas de $ABD$ , $ADC$ , $ABC$ . Sean $b$ y $c$ las longitudes de los lados $AC$ y $AB$ del triángulo. Demuestra que \[ \frac{1}{r_B} +\frac{1}{r_C} ~=~ 2\cdot\left( \frac1r +\frac1b +\frac1c\right)\]

Sean $a,b,c,d$ enteros impares tales que $0<a<b<c<d$ y $ad=bc$ . Demostrar que si $a+d=2^k$ y $b+c=2^m$ para algunos enteros $k$ y $m$ , entonces $a=1$.

Para un número real $x$ , sea $[x]$ denote el mayor entero que no excede a $x$ . Si $m \ge 3$ , pruebe que \n\[\left[\frac{m(m+1)}{2(2m-1)}\right]=\left[\frac{m+1}{4}\right]\]

Dado un triángulo $ABC$ , tres triángulos equiláteros $AEB, BFC$ , y $CGA$ son construidos en el exterior de $ABC$ . Pruebe que: \n(a) $CE = AF = BG$ ; \n(b) $CE, AF$ , y $BG$ tienen un punto en común.

Los lados opuestos del hexágono reentrante $AFBDCE$ se intersectan en los puntos $K,L,M$ (como se muestra en la figura). Se da que $AL = AM = a, BM = BK = b$ , $CK = CL = c, LD = DM = d, ME = EK = e, FK = FL = f$ . \n(a) Dada la longitud $a$ y los tres ángulos $\alpha, \beta$ y $\gamma$ en los vértices $A, B,$ y $C,$ respectivamente, satisfaciendo la condición $\alpha+\beta+\gamma<180^{\circ}$ , demuestre que todos los ángulos y lados del hexágono están unívocamente determinados. \n(b) Pruebe que \[\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\] \nVersión más fácil de $(b)$ . Pruebe que \n\[(a + f)(b + d)(c + e)= (a + e)(b + f)(c + d)\]

Dado un polígono regular convexo de $2m$ lados $P$ , demuestre que existe un polígono de $2m$ lados $\pi$ con los mismos vértices que $P$ (pero en un orden diferente) tal que $\pi$ tiene exactamente un par de lados paralelos.

La fracción $\frac{3}{10}$ puede ser escrita como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ de la siguiente manera: $\frac{3}{10} =\frac{1}{5}+\frac{1}{10}$ y también $\frac{3}{10}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$ . Esas son las únicas dos formas en las que esto se puede hacer. ¿De cuántas formas se puede escribir $\frac{3}{1984}$ como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$? ¿Existe un entero positivo $n,$ no divisible por $3$ , tal que $\frac{3}{n}$ puede ser escrito como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ en exactamente $1984$ formas?