Sea $ A$ uno de los dos puntos de intersección de dos círculos con centros $ X, Y$ respectivamente. Las tangentes en $ A$ a los dos círculos se encuentran con los círculos de nuevo en $ B, C$ . Sea un punto $ P$ ubicado de manera que $ PXAY$ sea un paralelogramo. Demuestra que $ P$ es también el circuncentro del triángulo $ ABC$ .

El triángulo $ ABC$ tiene incentro $ I$ y el incírculo toca a $ BC, CA$ en $ D, E$ respectivamente. Sea $ BI$ intersectar a $ DE$ en $ G$ . Demuestra que $ AG$ es perpendicular a $ BG$ .

Para enteros positivos $ n$ , define $ A(n)$ como $ \frac {(2n)!}{(n!)^{2}}$ . Determina los conjuntos de enteros positivos $ n$ para los cuales (a) $ A(n)$ es un número par, (b) $ A(n)$ es un múltiplo de $ 4$ .

Determina todos los $n \in \mathbb{N}$ para los cuales $n$ no es el cuadrado de ningún entero, $ \lfloor \sqrt{n}\rfloor ^3$ divide a $n^2$ .

Sea $ A$ un subconjunto del conjunto $ \{ 1,11,21,31, \dots ,541,551 \}$ que tiene la propiedad de que ningún par de elementos de $ A$ suman $ 552$ . Demuestra que $ A$ no puede tener más de $ 28$ elementos.

Sean $ a,b,c$ y $ d$ cuatro números reales cualesquiera, no todos iguales a cero. Demuestra que las raíces del polinomio $ f(x) = x^{6} + ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ no pueden ser todas reales.

Demuestra que el polinomio $ f(x) = x^{4} + 26x^{3} + 56x^{2} + 78x + 1989$ no se puede expresar como un producto $ f(x) = p(x)q(x)$ , donde $ p(x)$ y $ q(x)$ son ambos polinomios con coeficientes enteros y con grado al menos $ 1$ .

Sean $\{a_0,a_1,\ldots\}$ y $\{b_0,b_1,\ldots\}$ dos sucesiones infinitas de enteros tales que \[(a_{n}-a_{n-1})(a_n-a_{n-2}) +(b_n-b_{n-1})(b_n-b_{n-2})=0\] para todos los enteros $n\geq 2$ . Pruebe que existe un entero positivo $k$ tal que \[a_{k+2011}=a_{k+2011^{2011}}.\]

Encuentre todos los pares $(m,n)$ de enteros no negativos para los cuales \[m^2 + 2 \cdot 3^n = m\left(2^{n+1} - 1\right).\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $AD,BE,CF$ bisectrices internas con $D, E, F$ en $BC, CA, AB$ respectivamente. Pruebe que \[\frac{EF}{BC}+\frac{FD}{CA}+\frac{DE}{AB}\geq 1+\frac{r}{R}\]