Sean los puntos $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC.$ Sea $D$ el punto medio de $BC.$ Sea $E$ el punto en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $AE\perp HE.$ Sea $F$ el punto tal que $AEHF$ es un rectángulo. Demuestra que $D,E,F$ son colineales.

Sea $n\ge 2$ un entero. Resuelve en los reales: \[|a_1-a_2|=2|a_2-a_3|=3|a_3-a_4|=\cdots=n|a_n-a_1|.\]

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=\angle C=30^{\circ}.$ Los puntos $D,E,F$ se eligen en los lados $AB,BC,CA$ respectivamente de modo que $\angle BFD=\angle BFE=60^{\circ}.$ Sean $p$ y $p_1$ los perímetros de los triángulos $ABC$ y $DEF$ , respectivamente. Demuestra que $p\le 2p_1.$

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_m$ un conjunto de $m$ números pares positivos distintos y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ un conjunto de $n$ números impares positivos distintos tales que \[a_1+a_2+\cdots+a_m+b_1+b_2+\cdots+b_n=2019\] Demuestra que \[5m+12n\le 581.\]

Sea $O$ el circuncentro y $\Omega$ el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ un punto arbitrario en $\Omega$ , distinto de $A$ , $B$ , $C$ y sus antípodas en $\Omega$ . Denotemos los circuncentros de los triángulos $AOP$ , $BOP$ y $COP$ por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Las líneas $\ell_A$ , $\ell_B$ , $\ell_C$ perpendiculares a $BC$ , $CA$ y $AB$ pasan por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Demuestra que la circunferencia circunscrita al triángulo formado por $\ell_A$ , $\ell_B$ y $\ell_C$ es tangente a la línea $OP$ .

Determina todas las funciones $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ que satisfacen $$\left(x+\frac{1}{x}\right)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{y}{x}\right)$$ para todo $x,y>0$ .

Determina todos los polinomios mónicos no constantes $f(x)$ con coeficientes enteros para los cuales existe un número natural $M$ tal que para todo $n \geq M$ , $f(n)$ divide a $f(2^n) - 2^{f(n)}$.

Sea $k$ un entero positivo. El comité organizador de un torneo de tenis debe programar los partidos para $2k$ jugadores de modo que cada dos jugadores jueguen una vez, cada día se juega exactamente un partido, y cada jugador llega al sitio del torneo el día de su primer partido y se va el día de su último partido. Por cada día que un jugador está presente en el torneo, el comité tiene que pagar $1$ moneda al hotel. Los organizadores quieren diseñar el calendario para minimizar el costo total de las estancias de todos los jugadores. Determina este costo mínimo.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncírculo $\Gamma$ y circuncentro $O$ . Suponga que $AB < AC$ . Sea $H$ el ortocentro e $I$ el incentro del triángulo $ABC$ . Sea $F$ el punto medio del arco $BC$ del circuncírculo del triángulo $BHC$ , que contiene a $H$ . Sea $X$ un punto en el arco $AB$ de $\Gamma$ que no contiene a $C$ , tal que $\angle AXH = \angle AFH$ . Sea $K$ el circuncentro del triángulo $XIA$ . Demuestra que las líneas $AO$ y $KI$ se encuentran en $\Gamma$ .

Dado cualquier conjunto $S$ de enteros positivos, demuestre que al menos una de las dos afirmaciones siguientes es válida: (1) Existen subconjuntos finitos distintos $F$ y $G$ de $S$ tales que $\sum_{x\in F}1/x=\sum_{x\in G}1/x$ ; (2) Existe un número racional positivo $r<1$ tal que $\sum_{x\in F}1/x\neq r$ para todos los subconjuntos finitos $F$ de $S$ .