Una tabla rectangular con 2001 filas y 2002 columnas se divide en rectángulos de $1\times 2$. Se sabe que cualquier otra partición de la tabla en rectángulos de $1\times 2$ contiene un rectángulo perteneciente a la partición original. Demuestre que la partición original contiene dos columnas sucesivas cubiertas por 2001 rectángulos horizontales.

¿Existe un trinomio cuadrático con coeficientes enteros, tal que todos los valores que son naturales sean potencias naturales de dos?

Los puntos en los lados $ BC $ , $ CA $ y $ AB $ del triángulo $ ABC $ son respectivamente $ A_1 $ , $ B_1 $ y $ C_1 $ tales que $ AC_1: C_1B = BA_1: A_1C = CB_1: B_1A = 2: 1 $ . Demuestre que si el triángulo $ A_1B_1C_1 $ es equilátero, entonces el triángulo $ ABC $ también es equilátero.

Cada uno de los puntos $G$ y $H$ que se encuentran en lados diferentes del plano del hexágono $ABCDEF$ está conectado con todos los vértices del hexágono. ¿Es posible marcar 18 segmentos así formados con los números $1, 2, 3, \ldots, 18$ y colocar algunos números reales en los puntos $A, B, C, D, E, F, G, H$ de modo que cada segmento esté marcado con la diferencia de los números en sus extremos?

Se da un número real $a$. La secuencia $n_{1}< n_{2}< n_{3}< ...$ consta de todos los $n$ enteros positivos tales que $\{na\}< \frac{1}{10}$ . Demuestre que hay como máximo tres números diferentes entre los números $n_{2}-n_{1}$ , $n_{3}-n_{2}$ , $n_{4}-n_{3}$ , $\ldots$ .

Los puntos $D$ y $E$ en el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ son tales que $AD=AE = BC$ . Sea $H$ el punto común de las alturas del triángulo $ABC$ . Se sabe que $AH^{2}=BH^{2}+CH^{2}$ . Demuestre que $H$ se encuentra en el segmento $DE$ .

Encuentre todas las funciones $f(x),$ continuas en todo el eje real, tales que para cada $x$ real \[f(3x-2)\leq f(x)\leq f(2x-1).\]

Se da un entero positivo $c$. La secuencia $\{p_{k}\}$ se construye según la siguiente regla: $p_{1}$ es un primo arbitrario y para $k\geq 1$ el número $p_{k+1}$ es cualquier divisor primo de $p_{k}+c$ no presente entre los números $p_{1}$ , $p_{2}$ , $\dots$ , $p_{k}$ . Demuestre que la secuencia $\{p_{k}\}$ no puede ser infinita.

Una tabla rectangular con 2001 filas y 2002 columnas se divide en rectángulos de $1\times 2$. Se sabe que cualquier otra partición de la tabla en rectángulos de $1\times 2$ contiene un rectángulo perteneciente a la partición original. Demuestre que la partición original contiene dos columnas sucesivas cubiertas por 2001 rectángulos horizontales.

Un círculo que tiene un centro común con el circuncírculo del triángulo $ABC$ se encuentra con los lados del triángulo en seis puntos que forman el hexágono convexo $A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2}$ ( $A_{1}$ y $A_{2}$ están en $BC$ , $B_{1}$ y $B_{2}$ están en $AC$ , $C_{1}$ y $C_{2}$ están en $AB$ ) . Si $A_{1}B_{1}$ es paralelo a la bisectriz del ángulo $B$ , demuestre que $A_{2}C_{2}$ es paralelo a la bisectriz del ángulo $C$ .