Sea $f : \{ 1, 2, 3, \dots \} \to \{ 2, 3, \dots \}$ una función tal que $f(m + n) | f(m) + f(n) $ para todos los pares $m,n$ de enteros positivos. Demuestra que existe un entero positivo $c > 1$ que divide todos los valores de $f$ .

Sea $n$ un número natural. Un mosaico de un tablero de $2n \times 2n$ es una colocación de $2n^2$ dominós (de tamaño $2 \times 1$ o $1 \times 2$ ) de tal manera que cada uno de ellos cubre exactamente dos cuadrados del tablero y cubren todo el tablero. Consideremos ahora dos mosaicos separados de un tablero de $2n \times 2n$: uno con dominós rojos y el otro con dominós azules. Decimos que dos cuadrados son vecinos rojos si están cubiertos por el mismo dominó rojo en el mosaico rojo; de manera similar, definimos vecinos azules. Suponga que podemos asignar un entero no nulo a cada uno de los cuadrados de tal manera que el número en cualquier cuadrado sea igual a la diferencia entre los números en sus vecinos rojos y azules, es decir, el número en su vecino rojo menos el número en su vecino azul. Demuestra que $n$ es divisible por $3$.

Dado el conjunto de $7$ elementos $A = \{ a ,b,c,d,e,f,g \}$, encuentra una colección $T$ de subconjuntos de $3$ elementos de $A$ tal que cada par de elementos de $A$ aparece exactamente una vez en uno de los subconjuntos de $T$.

Encuentra el mínimo común múltiplo posible más pequeño de veinte números naturales cuya suma es $801$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$ y $\angle BAC = 30^{\circ}$, Sea $A'$ la reflexión de $A$ en la línea $BC$; $B'$ la reflexión de $B$ en la línea $CA$; $C'$ la reflexión de $C$ en la línea $AB$, Demuestra que $A'B'C'$ es un triángulo equilátero.

Demuestra que para cada número natural $n > 1$ \[ \frac{1}{n+1} \left( 1 + \frac{1}{3} +\frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{2n-1} \right) > \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2n} \right) . \]

Sea $n$ un entero positivo y $p_1, p_2, p_3, \ldots p_n$ sean $n$ números primos todos mayores que $5$ tales que $6$ divide a $p_1 ^2 + p_2 ^2 + p_3 ^2 + \cdots p_n ^2$. Demuestra que $6$ divide a $n$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo en el que $\angle BAC = 50^{\circ}, \angle CAD = 60^{\circ}$ y $\angle BDC = 25^{\circ}$. Si $E$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$, encuentra $\angle AEB$.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n$ con coeficientes reales y sea $a\geq 3$ . Demostrar que \[\max_{0\leq j \leq n+1}\left | a^j-P(j) \right |\geq 1\]

Una secuencia estrictamente creciente $(a_n)$ tiene la propiedad de que $\gcd(a_m,a_n) = a_{\gcd(m,n)}$ para todo $m,n\in \mathbb{N}$ . Suponga que $k$ es el entero positivo más pequeño para el cual existen enteros positivos $r < k < s$ tales que $a_k^2 = a_ra_s$ . Demostrar que $r | k$ y $k | s$ .