Sean $a,b,c,d$ números reales positivos tales que $abcd=1$ . Demostrar que \[ \frac{1+ab}{1+a} + \frac{1+bc}{1+b} + \frac{1+cd}{1+c} + \frac{1+da}{1+d} \geq 4 . \]

Cada uno de los puntos $G$ y $H$ que se encuentran en lados diferentes del plano del hexágono $ABCDEF$ está conectado con todos los vértices del hexágono. ¿Es posible marcar 18 segmentos así formados con los números $1, 2, 3, \ldots, 18$ y colocar algunos números reales en los puntos $A, B, C, D, E, F, G, H$ de modo que cada segmento esté marcado con la diferencia de los números en sus extremos?

El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente. Una prueba de la parte (a) recibirá 5 puntos. Se pueden otorgar hasta 7 puntos adicionales por el progreso en la parte (b). Sea $p(x)$ un polinomio de grado $d$ con coeficientes pertenecientes al conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$. Suponga que, para cada $1 \le k \le d-1$, $p(x)$ y su derivada $k$-ésima $p^{(k)}(x)$ tienen una raíz común en $\mathbb{Q}$; es decir, existe $r_k \in \mathbb{Q}$ tal que $p(r_k) = p^{(k)}(r_k) = 0$.\n(a) Demuestre que si $d$ es primo, entonces existen constantes $a, b, c \in \mathbb{Q}$ tales que \[ p(x) = c(ax + b)^d. \]\n(b) ¿Para qué enteros $d \ge 2$ se cumple la conclusión de la parte (a)?

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen las siguientes dos propiedades.\n(i) La integral de Riemann $\int_a^b f(t) \mathrm dt$ existe para todos los números reales $a < b$.\n(ii) Para cada número real $x$ y cada entero $n \ge 1$ tenemos \[ f(x) = \frac{n}{2} \int_{x-\frac{1}{n}}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm dt. \]

Sea $n$ un entero positivo. Hay $n$ lámparas, cada una con un interruptor que cambia la lámpara de encendida a apagada, o de apagada a encendida, cada vez que se presiona. Las lámparas están inicialmente todas apagadas. Va a presionar los interruptores en una serie de rondas. En la primera ronda, va a presionar exactamente $1$ interruptor; en la segunda ronda, va a presionar exactamente $2$ interruptores; y así sucesivamente, de modo que en la ronda $k$-ésima va a presionar exactamente $k$ interruptores. En cada ronda presionará cada interruptor a lo más una vez. Su objetivo es terminar una ronda con todas las lámparas encendidas. Determine para qué $n$ puede lograr este objetivo.

Sea $n \ge 2$ un entero, y sea $O$ la matriz $n \times n$ cuyas entradas son todas iguales a $0$. Se eligen dos entradas distintas de la matriz uniformemente al azar, y esas dos entradas se cambian de $0$ a $1$. Llame a la matriz resultante $A$. Determine la probabilidad de que $A^2 = O$, como una función de $n$.

Para cada número real positivo $r$, defina $a_0(r) = 1$ y $a_{n+1}(r) = \lfloor ra_n(r) \rfloor$ para todos los enteros $n \ge 0$. \n(a) Demuestre que para cada número real positivo $r$, el límite \[ L(r) = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n(r)}{r^n} \] existe. \n(b) Determine todos los valores posibles de $L(r)$ cuando $r$ varía sobre el conjunto de los números reales positivos. Aquí $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$.

Sea $\mathcal{M}$ el conjunto de todas las matrices de $2021 \times 2021$ con a lo más dos entradas en cada fila iguales a $1$ y todas las demás entradas iguales a $0$. Determine el tamaño del conjunto $\{ \det A : A \in M \}$. Aquí $\det A$ denota el determinante de la matriz $A$.

Defina la secuencia de enteros $a_1, a_2, a_3, \ldots$ por $a_1 = 1$, y \[ a_{n+1} = \left(n+1-\gcd(a_n,n) \right) \times a_n \] para todos los enteros $n \ge 1$. Demuestre que $\frac{a_{n+1}}{a_n}=n$ si y solo si $n$ es primo o $n=1$. Aquí $\gcd(s,t)$ denota el máximo común divisor de $s$ y $t$.

Sean $a, b, c$ números reales tales que $a \neq 0$. Considere la parábola con ecuación \[ y = ax^2 + bx + c, \] y las líneas definidas por las seis ecuaciones \begin{align*}&y = ax + b, \quad & y = bx + c, \qquad \quad & y = cx + a, \&y = bx + a, \quad & y = cx + b, \qquad \quad & y = ax + c.\end{align*} Suponga que la parábola interseca cada una de estas líneas en a lo más un punto. Determine los valores máximo y mínimo posibles de $\frac{c}{a}$.