Sean $x, y, z$ números reales positivos. Demuestra que: $\frac{x + 2y}{z + 2x + 3y}+\frac{y + 2z}{x + 2y + 3z}+\frac{z + 2x}{y + 2z + 3x} \le \frac{3}{2}$

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc = 1$. Demuestra que: $\displaystyle\prod(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\geq 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)$

Considere la secuencia $(a_n)_{n\ge 1}$ definida por $a_n=n$ para $n\in \{1,2,3.4,5,6\}$, y para $n \ge 7$ :\n\n$$a_n={\lfloor}\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{2}{\rfloor}$$\n\ndonde ${\lfloor}x{\rfloor}$ es el mayor entero menor o igual que $x$. Por ejemplo : ${\lfloor}2.4{\rfloor} = 2, {\lfloor}3{\rfloor} = 3$ y ${\lfloor}\pi {\rfloor}= 3$.\n\nPara todos los enteros $n \ge 2$, sea $S_n = \{a_1,a_1,...,a_n\}- \{r_n\}$ donde $r_n$ es el resto cuando $a_1 + a_2 + ... + a_n$ se divide por $3$. El signo menos $-$ denota la ''quítelo si está allí'' notación. Por ejemplo : $S_4 = {2,3,4}$ porque $r_4= 1$ así que $1$ se elimina de $\{1,2,3,4\}$. Sin embargo $S_5= \{1,2,3,4,5\}$ betawe $r_5 = 0$ y $0$ no está en el conjunto $\{1,2,3,4,5\}$.\n\n1. Determine $S_7,S_8,S_9$ y $S_{10}$.\n\n2. Decimos que un conjunto $S_n$ para $n\ge 6$ está bien balanceado si se puede dividir en tres subconjuntos disjuntos por pares con la misma suma. Por ejemplo : $S_6 = \{1,2,3,4,5,6\} =\{1,6\}\cup \{2,5\}\cup \{3,4\}$ y $1 +6 = 2 + 5 = 3 + 4$. Pruebe que $S_7,S_8,S_9$ y $S_{10}$ están bien balanceados.\n\n3. ¿Está bien balanceado el conjunto $S_{2019}$? Justifique su respuesta.

Considere el conjunto $S = \{1,2,3, ...,1441\}$.\n\n1. Nora cuenta aquellos subconjuntos de $S$ que tienen exactamente dos elementos, cuya suma es par. Rania cuenta aquellos subconjuntos de $S$ que tienen exactamente dos elementos, cuya suma es impar. Determine los números contados por Nora y Rania.\n\n2. Sea $t$ el número de subconjuntos de $S$ que tienen al menos dos elementos y el producto de los elementos es par. Determine la mayor potencia de $2$ que divide a $t$.\n\n3. Ahmad cuenta los subconjuntos de $S$ que tienen $77$ elementos tales que en cada subconjunto la suma de los elementos es par. Bushra cuenta los subconjuntos de $S$ que tienen $77$ elementos tales que en cada subconjunto la suma de los elementos es impar. ¿De quién es el número más grande? Determine la diferencia entre los números encontrados por Ahmad y Bushra.

1. Encuentre $N$, el múltiplo positivo más pequeño de $45$ tal que todos sus dígitos son $7$ o $0$.\n\n2. Encuentre $M$, el múltiplo positivo más pequeño de $32$ tal que todos sus dígitos son $6$ o $1$.\n\n3. ¿Cuántos elementos del conjunto $\{1,2,3,...,1441\}$ tienen un múltiplo positivo tal que todos sus dígitos son $5$ o $2$?

Sea $ABCD$ un trapecio con $AD$ paralelo a $BC$ y sea $J$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Se elige un punto $P$ en el lado $BC$ tal que la distancia desde $C$ a la línea $AP$ es igual a la distancia desde $B$ a la línea $DP$. Las siguientes tres preguntas 1, 2 y 3 son independientes, de modo que una condición en una pregunta no se aplica en otra pregunta.\n\n1. Suponga que $Area( \vartriangle AJB) =6$ y que $Area(\vartriangle BJC) = 9$. Determine $Area(\vartriangle APD)$.\n\n2. Encuentre todos los puntos $Q$ en el plano del trapecio tales que $Area(\vartriangle AQB) = Area(\vartriangle DQC)$.\n\n3. Pruebe que $PJ$ es la bisectriz del ángulo $\angle APD$.

El círculo con el centro de $ O $ toca los lados del ángulo $ A $ en los puntos de $ K $ y $ M $ . La tangente al círculo interseca los segmentos $ AK $ y $ AM $ en los puntos $ B $ y $ C $ respectivamente, y la línea $ KM $ interseca los segmentos $ OB $ y $ OC $ en los puntos $ D $ y $ E $ . Demuestre que el área del triángulo $ ODE $ es igual a un cuarto del área de un triángulo $ BOC $ si y sólo si el ángulo $ A $ es $ 60^\circ $ .

Se da un entero positivo $c$. La secuencia $\{p_{k}\}$ se construye según la siguiente regla: $p_{1}$ es un primo arbitrario y para $k\geq 1$ el número $p_{k+1}$ es cualquier divisor primo de $p_{k}+c$ no presente entre los números $p_{1}$ , $p_{2}$ , $\dots$ , $p_{k}$ . Demuestre que la secuencia $\{p_{k}\}$ no puede ser infinita.

En las celdas de la tabla $ 100 \times100 $ se colocan en pares números diferentes. Cada minuto cada uno de los números cambia al mayor de los números en las celdas adyacentes en el lado. ¿Puede después de $4$ horas todos los números en la tabla ser iguales?

Demuestre que para todos $ x, y \in 0, 1 $ la desigualdad $ 5 (x^2+ y^2) ^2 \leq 4 + (x +y) ^4$ se cumple.