Sean $a_1, a_2, a_3, . . . , a_{2022}$ números reales positivos que pueden ser agrupados en $1011$ pares tales que cada número de un par es el recíproco del otro número. Demuestra que $(1 + a_1)(1 + a_2)(1 + a_3)· · ·(1 + a_{2022}) \geq 2^{2022}$ .

En cuántas maneras se pueden distribuir $10$ bolas del mismo tamaño entre $4$ niños en los siguientes casos: (a) todas las bolas son del mismo color? (b) cada bola es de un color diferente?

Demuestra que $n! \geq n^{\frac{n}{2}}$ para todos los números naturales $n$ . Además, demuestra que la desigualdad es estricta para $n > 2$ .

Las cuerdas $AB$ y $CD$ de un círculo se intersecan dentro del círculo en $P$ tal que $AP = 8, P B = 6, P D = 3$ y $\angle AP C = 60^{\circ}$ . Encuentra el área de $\bigtriangleup AP C$ .

Evalúa $$\frac{1}{1!21!} + \frac{1}{3!19!} + \frac{1}{5!16!} + ... + \frac{1}{21!1!}$$

Sean $AB$ y $CD$ dos líneas paralelas conectadas por la base $BD$ . $AD$ y $BC$ se dibujan y se intersecan en el punto $P$ . Una línea $P Q$ se dibuja desde el punto $P$ a $BD$ tal que $\angle P AB = \angle DP Q$ . Demuestra que $\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} =\frac{1}{P Q}$ .

Encuentra la suma de todos los divisores positivos de $27000$ .

Para los enteros positivos $a, b$ , $lcm(a, b) = gcd(a, b) = p^2q^4$ , donde $p$ y $q$ son números primos. Encuentra $lcm(ap, bq)$ . Aquí lcm y gcd representan el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor respectivamente.

Hay $2019$ monedas en una mesa. Algunas se colocan con la cara hacia arriba y otras con la cruz hacia arriba. Un grupo de $2019$ personas realiza las siguientes operaciones: la primera persona elige cualquier moneda y luego la voltea, la segunda persona elige dos monedas cualesquiera y las voltea y así sucesivamente y la persona número $2019$ voltea todas las monedas. Demuestra que no importa qué lados tengan las monedas inicialmente, las $2019$ personas pueden encontrar un procedimiento para voltear las monedas de modo que todas las monedas tengan el mismo lado hacia arriba al final de las operaciones.

Determina todos los enteros positivos $m$ que satisfacen la condición de que existe un único entero positivo $n$ tal que existe un rectángulo que se puede descomponer en $n$ cuadrados congruentes y también se puede descomponer en $m+n$ cuadrados congruentes.