10 Un plano corta un cono circular recto de volumen $ V$ en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altura. Halle el volumen de la parte menor. Formulación original: Un plano corta un cono circular recto en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altura. Halle la razón entre el volumen de la parte menor y el volumen del cono completo. Fermat -Euler

11 Las cuerdas $ AB$ y $ CD$ de una circunferencia se intersecan en un punto $ E$ interior a la circunferencia. Sea $ M$ un punto interior del segmento $ EB$ . La recta tangente en $ E$ a la circunferencia que pasa por $ D$ , $ E$ y $ M$ interseca a las rectas $ BC$ y $ AC$ en $ F$ y $ G$ , respectivamente. Si \[ \frac {AM}{AB} = t, \] halle $\frac {EG}{EF}$ en términos de $ t$ .

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que el triángulo $ABD$ es equilátero y el triángulo $BCD$ es isósceles, con $\angle C = 90^o$. Si $E$ es el punto medio del lado $AD$, determina la medida del ángulo $\angle CED$.

12 Sea $ ABC$ un triángulo, y las bisectrices de sus ángulos $ CAB$ y $ ABC$ cortan a los lados $ BC$ y $ CA$ en los puntos $ D$ y $ F$ , respectivamente. Las rectas $ AD$ y $ BF$ cortan a la recta que pasa por el punto $ C$ paralela a $ AB$ en los puntos $ E$ y $ G$ , respectivamente, y se tiene $ FG = DE$ . Demuestre que $ CA = CB$ . Formulación original: Sea $ ABC$ un triángulo y $ L$ la recta que pasa por $ C$ paralela al lado $ AB.$ La bisectriz interior del ángulo en $ A$ corta al lado $ BC$ en $ D$ y a la recta $ L$ en $ E$ , y la bisectriz interior del ángulo en $ B$ corta al lado $ AC$ en $ F$ y a la recta $ L$ en $ G.$ Si $ GF = DE,$ demuestre que $ AC = BC.$ Fermat -Euler

13 Un matemático excéntrico tiene una escalera con $ n$ peldaños que siempre sube y baja de la siguiente manera: cuando sube, cada paso que da cubre $ a$ peldaños de la escalera, y cuando baja, cada paso que da cubre $ b$ peldaños de la escalera, donde $ a$ y $ b$ son enteros positivos fijos. Mediante una sucesión de pasos ascendentes y descendentes puede subir desde el nivel del suelo hasta el peldaño superior de la escalera y volver a bajar al nivel del suelo. Halle, con demostración, el valor mínimo de $ n,$ expresado en términos de $ a$ y $ b.$

2 Sea $ R_1,R_2, \ldots$ la familia de sucesiones finitas de enteros positivos definida por las siguientes reglas: $ R_1 = (1),$ y si $ R_{n - 1} = (x_1, \ldots, x_s),$ entonces \[ R_n = (1, 2, \ldots, x_1, 1, 2, \ldots, x_2, \ldots, 1, 2, \ldots, x_s, n).\] Por ejemplo, $ R_2 = (1, 2),$ $ R_3 = (1, 1, 2, 3),$ $ R_4 = (1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4).$ Demuestre que si $ n > 1,$ entonces el $ k$ -ésimo término desde la izquierda en $ R_n$ es igual a 1 si y solo si el $ k$ -ésimo término desde la derecha en $ R_n$ es distinto de 1.

2 Dado un trapecio $ ABCD$ con lados paralelos $ AB$ y $ CD$ , suponga que existen puntos $ E$ sobre la recta $ BC$ fuera del segmento $ BC$ , y $ F$ dentro del segmento $ AD$ tales que $ \angle DAE = \angle CBF$ . Denote por $ I$ el punto de intersección de $ CD$ y $ EF$ , y por $ J$ el punto de intersección de $ AB$ y $ EF$ . Sea $ K$ el punto medio del segmento $ EF$ ; suponga que no se encuentra sobre la recta $ AB$ . Demuestre que $ I$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $ ABK$ si y solo si $ K$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $ CDJ$ . Propuesto por Charles Leytem, Luxemburgo

14 En el plano coordenado se da un rectángulo con vértices $ (0, 0),$ $ (m, 0),$ $ (0, n),$ $ (m, n)$ donde tanto $ m$ como $ n$ son enteros impares. El rectángulo se particiona en triángulos de modo que (i) cada triángulo de la partición tiene al menos un lado (que se denominará lado «bueno») que está sobre una recta de la forma $ x = j$ o $ y = k,$ donde $ j$ y $ k$ son enteros, y la altura sobre este lado tiene longitud 1; (ii) cada lado «malo» (es decir, un lado de cualquier triángulo de la partición que no sea «bueno») es un lado común de dos triángulos de la partición. Demuestre que existen al menos dos triángulos en la partición que tienen cada uno dos lados buenos.

15 Determine para cuáles enteros positivos $ k$ el conjunto \[ X = \{1990, 1990 + 1, 1990 + 2, \ldots, 1990 + k\}\] puede particionarse en dos subconjuntos disjuntos $ A$ y $ B$ tales que la suma de los elementos de $ A$ sea igual a la suma de los elementos de $ B.$

40 Demuestre las desigualdades \[\frac{u}{v}\le \frac{\sin u}{\sin v}\le \frac{\pi}{2}\times\frac{u}{v},\text{ for }0 \le u < v \le \frac{\pi}{2}\]