B6 Demuestra que existe una cantidad infinita de pares ordenados $(a,b)$ de enteros tales que para todo entero positivo $t$, el número $at+b$ es un número triangular si y solo si $t$ es un número triangular. (Los números triangulares son los $t_n = n(n+1)/2$ con $n$ en $\{0,1,2,\dots\}$.)

55 Supón que $\alpha_i > 0, \beta_i > 0$ para $1 \leq i \leq n, n > 1$ y que \[ \sum^n_{i=1} \alpha_i = \sum^n_{i=1} \beta_i = \pi. \] Demuestra que \[ \sum^n_{i=1} \frac{\cos(\beta_i)}{\sin(\alpha_i)} \leq \sum^n_{i=1} \cot(\alpha_i). \]

56 Dado un conjunto de 1988 puntos en el plano. No hay cuatro puntos del conjunto que sean colineales. Los puntos de un subconjunto con 1788 puntos están coloreados de azul, los 200 restantes de rojo. Demuestra que existe una recta en el plano tal que cada una de las dos partes en las que la recta divide al plano contiene 894 puntos azules y 100 puntos rojos.

39 Sean $a, b, c$ enteros. Demuestra que existen enteros $p_1, q_1, r_1, p_2, q_2$ y $r_2$ que satisfacen $a = q_1r_2 - q_2r_1$, $b = r_1p_2 - r_2p_1$ y $c = p_1q_2 - p_2q_1$. Amir

52 $ ABCD$ es un cuadrilátero. $ A'BCD'$ es el reflejo de $ ABCD$ respecto a $ BC,$ $ A''B'CD'$ es el reflejo de $ A'BCD'$ respecto a $ CD'$ y $ A''B''C'D'$ es el reflejo de $ A''B'CD'$ respecto a $ D'A''.$ Demuestra que; si las rectas $ AA''$ y $ BB''$ son paralelas, entonces $ ABCD$ es un cuadrilátero cíclico.

5 Hay $2n$ personas ( $n \ge 2$ ) sentadas alrededor de una mesa redonda, donde cada persona conoce a sus dos vecinos y exactamente frente a él se sienta una persona a la que no conoce. Demuestre que las personas pueden reacomodarse de tal manera que cada uno conozca a uno de sus dos vecinos.

62 Sea $x = p, y = q, z = r, w = s$ la solución única del sistema de ecuaciones lineales \[ x + a_i \cdot y + a^2_i \cdot z + a^3_i \cdot w = a^4_i, i = 1,2,3,4. \] Expresa las soluciones del siguiente sistema en términos de $p,q,r$ y $s:$ \[ x + a^2_i \cdot y + a^4_i \cdot z + a^6_i \cdot w = a^8_i, i = 1,2,3,4. \] Supón la unicidad de la solución.

61 Cuarenta y nueve estudiantes resuelven un conjunto de 3 problemas. La puntuación de cada problema es un número entero de puntos de 0 a 7. Demuestra que existen dos estudiantes $ A$ y $ B$ tales que, para cada problema, $ A$ obtendrá al menos tantos puntos como $ B.$

60 Dados los enteros \(a_1, \ldots, a_{10}\), demuestra que existe una secuencia no nula \(\{x_1, \ldots, x_{10}\}\) tal que todos los \(x_i\) pertenecen a \(\{-1,0,1\}\) y el número \(\sum^{10}_{i=1} x_i \cdot a_i\) es divisible por 1001.

59 En el espacio tridimensional se da un punto $O$ y un conjunto finito $A$ de segmentos cuya suma de longitudes es igual a $1988$. Demuestra que existe un plano disjunto de $A$ tal que la distancia desde él hasta $O$ no exceda $574$.