G4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$ , sea $O$ su circuncentro y sea $D$ un punto del segmento $BC$ . La recta que pasa por $D$ perpendicular a $BC$ interseca a las rectas $AO, AC,$ y $AB$ en $W, X,$ e $Y,$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AXY$ y $ABC$ se intersecan nuevamente en $Z \ne A$ . Demuestre que si $W \ne D$ y $OW = OD,$ entonces $DZ$ es tangente a la circunferencia $AXY.$ ike.chen

G5 Sea $ABC$ un triángulo y sean $\ell_1,\ell_2$ dos rectas paralelas. La recta $\ell_i$ interseca a las rectas $BC,CA,AB$ en $X_i,Y_i,Z_i$ , respectivamente. Sea $\Delta_i$ el triángulo formado por la recta que pasa por $X_i$ y es perpendicular a $BC$ , la recta que pasa por $Y_i$ y es perpendicular a $CA$ , y la recta que pasa por $Z_i$ y es perpendicular a $AB$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\Delta_1$ y $\Delta_2$ son tangentes.

G1 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC=DE$ . Suponga que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ con $TB=TD,TC=TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$ . Sea la recta $AB$ que interseca a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Suponga que los puntos $P,B,A,Q$ aparecen en ese orden sobre su recta. Sea la recta $AE$ que interseca a $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$ , respectivamente. Suponga que los puntos $R,E,A,S$ aparecen en ese orden sobre su recta. Demuestre que los puntos $P,S,Q,R$ están sobre una circunferencia.

A6 La ecuación $$(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)$$ está escrita en la pizarra, con $2016$ factores lineales en cada lado. ¿Cuál es el menor valor posible de $k$ para el cual es posible borrar exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales de modo que quede al menos un factor en cada lado y la ecuación resultante no tenga soluciones reales?

4 Sea el entero positivo $m=2^k\cdot t$ , donde $k$ es un entero no negativo, $t$ es un número impar, y sea $f(m)=t^{1-k}$ . Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ y para cualquier número impar positivo $a\le n$ , $\prod_{m=1}^n f(m)$ es un múltiplo de $a$ .

4 En un triángulo \(ABC\), sean \(D\) y \(E\) puntos de los lados \(BC\) y \(AC\), respectivamente. Los segmentos \(AD\) y \(BE\) se intersectan en \(O\). Supón que la línea que une los puntos medios del triángulo y es paralela a \(AB\), biseca al segmento \(DE\). Demuestra que el triángulo \(ABO\) y el cuadrilátero \(ODCE\) tienen áreas iguales.

G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con altura $\overline{AH}$ , y sea $P$ un punto variable tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de los ángulos $\angle PBC$ y $\angle PCB$ , respectivamente, se cortan sobre $\overline{AH}$ . La recta $k$ corta a $\overline{AC}$ en $E$ , $\ell$ corta a $\overline{AB}$ en $F$ y $\overline{EF}$ corta a $\overline{AH}$ en $Q$ . Demuestre que cuando $P$ varía, la recta $PQ$ pasa por un punto fijo.

1 Sea $\mathbb{P}$ el conjunto de todos los números primos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{P}\rightarrow\mathbb{P}$ tales que: $$f(p)^{f(q)}+q^p=f(q)^{f(p)}+p^q$$ se cumple para todos $p,q\in\mathbb{P}$. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

G7 Dos triángulos $ABC, A’B’C’$ tienen el mismo ortocentro $H$ y la misma circunferencia circunscrita con centro $O$ . Siendo $PQR$ el triángulo formado por $AA’, BB’, CC’$ , demuestre que el circuncentro de $PQR$ está sobre $OH$ .

5 Dada una pirámide cuya base es un $n$ - gono inscribible en un círculo, sea $H$ la proyección del vértice superior de la pirámide sobre su base. Demuestre que las proyecciones de $H$ sobre las aristas laterales de la pirámide se encuentran sobre un círculo.