2 Sea \( k \) un entero positivo fijo, \( k \le 10 \). Dada una lista de diez números, la operación permitida es: elegir \( k \) números de la lista y sumarles \( 1 \) a cada uno de ellos. Así se obtiene una nueva lista de diez números. Si inicialmente tienes la lista \( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \), determina los valores de \( k \) para los cuales es posible, mediante una secuencia de operaciones permitidas, obtener una lista que tenga los diez números iguales. En cada caso indica la secuencia.

En un triángulo \(ABC\), rectángulo en \(A\) e isósceles, sea \(D\) un punto sobre el lado \(AC\) (con \(A \ne D \ne C\)) y \(E\) el punto sobre la prolongación de \(BA\) tal que el triángulo \(ADE\) es isósceles. Sea \(P\) el punto medio del segmento \(BD\), \(R\) el punto medio del segmento \(CE\) y \(Q\) el punto de intersección de \(ED\) y \(BC\). Demuestra que el cuadrilátero \(ARQP\) es un cuadrado.

Los vértices de un polígono regular de $2002$ lados están numerados del $1$ al $2002$, en sentido horario. Dado un entero $n$, $1 \le n \le 2002$, colorea el vértice $n$ de azul, luego, yendo en sentido horario, cuenta $n$ vértices empezando desde el siguiente de $n$, y colorea $n$ de azul. Y así sucesivamente, partiendo del vértice que sigue al último vértice coloreado, se cuentan $n$ vértices, coloreados o no, y el número $n$ se colorea de azul. Cuando el vértice a colorear ya es azul, el proceso se detiene. Denotamos $P(n)$ al conjunto de vértices azules obtenidos con este procedimiento al empezar con el vértice $n$. Por ejemplo, $P(364)$ está formado por los vértices $364$, $728$, $1092$, $1456$, $1820$, $182$, $546$, $910$, $1274$, $1638$ y $2002$. Determina todos los enteros $n$, $1 \le n \le 2002$, tales que $P(n)$ tiene exactamente $14$ vértices.

5 Sean $x$ y $y$ enteros positivos. Considera una cuadrícula de $x \times y$ cuadrados, cuyos vértices forman $(x+1)(y+1)$ puntos rojos. Inicialmente, se coloca una hormiga en cada punto rojo. Todas las hormigas se mueven simultáneamente a lo largo de las líneas de la cuadrícula a la misma velocidad. Cada vez que una hormiga llega a un punto rojo, debe girar $90^\circ$ (es decir, no puede seguir recto), eligiendo una de las dos direcciones perpendiculares. Determina todos los pares $(x, y)$ para los cuales es posible que las hormigas se muevan indefinidamente sin que dos hormigas ocupen el mismo punto rojo al mismo tiempo.

Un grupo de hombres, algunos de ellos acompañados por sus esposas, gastaron $\$1.000$ en un hotel. Cada hombre gastó $\$19$ y cada mujer $\$13$. Determina cuántas mujeres y cuántos hombres había.

9 En el conjunto de $20$ elementos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, A, B, C, D, J, K, L, U, X, Y , Z\}$ hemos hecho una secuencia aleatoria de $28$ tiradas. ¿Cuál es la probabilidad de que la secuencia $CUBA \ JULY \ 1987$ aparezca en ese orden en la secuencia ya tirada? Amir

2 Una hoja de papel rectangular (blanca de un lado y gris del otro) se dobló tres veces, como se muestra en la figura: El rectángulo $1$, que era blanco después del primer doblez, tiene $20$ cm más de perímetro que el rectángulo $2$, que era blanco después del segundo doblez, y este a su vez tiene $16$ cm más de perímetro que el rectángulo $3$, que era blanco después del tercer doblez. Determina el área de la hoja. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/f/8e363b40654ad0d8e100eac38319ee3784a7a7.png

1. Inicialmente, el número $1$ está escrito en el pizarrón. En cada paso, el número en el pizarrón se borra y se escribe otro, que se obtiene aplicando cualquiera de las siguientes operaciones: Operación A: Multiplica el número en el pizarrón por $\frac12$ . Operación B: Resta el número en el pizarrón de $1$ . Por ejemplo, si el número $\frac38$ está en el pizarrón, puede reemplazarse por $\frac12 \cdot \frac38=\frac{3}{16}$ o por $1-\frac38=\frac58$ . Da una secuencia de pasos después de la cual el número en el pizarrón sea $\frac{2009}{2^{20009}}$ .

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que el triángulo $ABD$ es equilátero y el triángulo $BCD$ es isósceles, con $\angle C = 90^o$. Si $E$ es el punto medio del lado $AD$, determina la medida del ángulo $\angle CED$.

10 $(BUL 4)$ Sea $M$ el punto interior del triángulo rectángulo $ABC (\angle C = 90^{\circ})$ tal que $\angle MAB = \angle MBC = \angle MCA =\phi.$ Sea $\Psi$ el ángulo agudo entre las medianas de $AC$ y $BC.$ Demuestra que $\frac{\sin(\phi+\Psi)}{\sin(\phi-\Psi)}= 5.$