N4 Halle todas las ternas $(a,b,p)$ de enteros positivos con $p$ primo y \[ a^p=b!+p. \]

N5 Para cada $1\leq i\leq 9$ y $T\in\mathbb N$ , defina $d_i(T)$ como el número total de veces que aparece el dígito $i$ cuando todos los múltiplos de $1829$ entre $1$ y $T$ inclusive se escriben en base $10$ . Demuestre que existen infinitos $T\in\mathbb N$ tales que hay exactamente dos valores distintos entre $d_1(T)$ , $d_2(T)$ , $\dots$ , $d_9(T)$ .

G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con altura $\overline{AH}$ , y sea $P$ un punto variable tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de los ángulos $\angle PBC$ y $\angle PCB$ , respectivamente, se cortan sobre $\overline{AH}$ . La recta $k$ corta a $\overline{AC}$ en $E$ , $\ell$ corta a $\overline{AB}$ en $F$ y $\overline{EF}$ corta a $\overline{AH}$ en $Q$ . Demuestre que cuando $P$ varía, la recta $PQ$ pasa por un punto fijo.

G7 Dos triángulos $ABC, A’B’C’$ tienen el mismo ortocentro $H$ y la misma circunferencia circunscrita con centro $O$ . Siendo $PQR$ el triángulo formado por $AA’, BB’, CC’$ , demuestre que el circuncentro de $PQR$ está sobre $OH$ .

Sean $A,B$ dos puntos fijos sobre el círculo unitario $\omega$ , que satisfacen $\sqrt{2} < AB < 2$ . Sea $P$ un punto que puede moverse sobre el círculo unitario, y puede moverse a cualquier punto del círculo unitario tal que $\triangle ABP$ sea acutángulo y $AP>AB>BP$ . Sea $H$ el ortocentro de $\triangle ABP$ y sea $S$ un punto del arco menor $AP$ que satisface $SH=AH$ . Sea $T$ un punto del arco menor $AB$ que satisface $TB || AP$ . Sea $ST\cap BP = Q$ . Demuestre que (recuerde que $P$ varía) el círculo con diámetro $HQ$ pasa por un punto fijo.

2 Dados $ n$ países con tres representantes cada uno, $ m$ comités $ A(1),A(2), \ldots, A(m)$ se denominan un ciclo si (i) cada comité tiene $ n$ miembros, uno de cada país; (ii) no hay dos comités con la misma membresía; (iii) para $ i = 1, 2, \ldots,m$ , el comité $ A(i)$ y el comité $ A(i + 1)$ no tienen ningún miembro en común, donde $ A(m + 1)$ denota $ A(1);$ (iv) si $ 1 < |i - j| < m - 1,$ entonces los comités $ A(i)$ y $ A(j)$ tienen al menos un miembro en común. ¿Es posible tener un ciclo de 1990 comités con 11 países?

Sean $a,b,d$ enteros tales que $\left|a\right| \geqslant 2$ , $d \geqslant 0$ y $b \geqslant \left( \left|a\right| + 1\right)^{d + 1}$ . Para un polinomio $f$ de coeficientes reales de grado $d$ y un entero $n$ , sea $r_n$ el residuo de $\left[ f(n) \cdot a^n \right]$ módulo $b$ . Si $\left \{ r_n \right \}$ es eventualmente periódica, demuestre que todos los coeficientes de $f$ son racionales.

N6 Sea $Q$ un conjunto de números primos, no necesariamente finito. Para un entero positivo $n$ considere su factorización en primos: defina $p(n)$ como la suma de todos los exponentes y $q(n)$ como la suma de los exponentes que corresponden únicamente a los primos de $Q$ . Un entero positivo $n$ se denomina especial si $p(n)+p(n+1)$ y $q(n)+q(n+1)$ son ambos enteros pares. Demuestre que existe una constante $c>0$ independiente del conjunto $Q$ tal que para cualquier entero positivo $N>100$ , el número de enteros especiales en $[1,N]$ es al menos $cN$ . (Por ejemplo, si $Q=\{3,7\}$ , entonces $p(42)=3$ , $q(42)=2$ , $p(63)=3$ , $q(63)=3$ , $p(2022)=3$ , $q(2022)=1$ .)

N7 Sea $k$ un entero positivo y sea $S$ un conjunto finito de números primos impares. Demuestre que hay a lo sumo una manera (salvo rotación y reflexión) de colocar los elementos de $S$ alrededor de la circunferencia de modo que el producto de cualesquiera dos vecinos sea de la forma $x^2+x+k$ para algún entero positivo $x$ .

2 Se nos da un triángulo $ABC$ y tres rectángulos $R_1,R_2,R_3$ con lados paralelos a dos direcciones perpendiculares fijas y tales que su unión cubre los lados $AB,BC$ y $CA$ ; es decir, cada punto del perímetro de $ABC$ está contenido en o sobre al menos uno de los rectángulos. Demuestre que todos los puntos interiores al triángulo también quedan cubiertos por la unión de $R_1,R_2,R_3.$ Amir