A5 Halle todos los enteros positivos $n \geqslant 2$ para los cuales existen $n$ números reales $a_1<\cdots<a_n$ y un número real $r>0$ tales que las $\tfrac{1}{2}n(n-1)$ diferencias $a_j-a_i$ con $1 \leqslant i<j \leqslant n$ son iguales, en algún orden, a los números $r^1,r^2,\ldots,r^{\frac{1}{2}n(n-1)}$ .

A6 Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Denotamos por $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb R$ . Halle todos los números racionales $q$ tales que para toda función $f\in\mathcal F$ , existe algún $z\in\mathbb R$ que satisface $f(z)=qz$ .

A7 Para un entero positivo $n$ denotamos por $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$ . Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ un polinomio, donde $n \geqslant 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leqslant i \leqslant n-1$ . ¿Podría ocurrir que, para todos los enteros positivos $k$ , $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad?

A8 Para un entero positivo $n$ , una $n$ -sucesión es una sucesión $(a_0,\ldots,a_n)$ de enteros no negativos que satisface la siguiente condición: si $i$ y $j$ son enteros no negativos con $i+j \leqslant n$ , entonces $a_i+a_j \leqslant n$ y $a_{a_i+a_j}=a_{i+j}$ . Sea $f(n)$ el número de $n$ -sucesiones. Demuestre que existen números reales positivos $c_1$ , $c_2$ y $\lambda$ tales que \[c_1\lambda^n<f(n)<c_2\lambda^n\] para todos los enteros positivos $n$ .

C1 Una $\pm 1$ -sucesión es una sucesión de $2022$ números $a_1, \ldots, a_{2022},$ cada uno igual a $+1$ o $-1$ . Determine la mayor constante $C$ tal que, para cualquier $\pm 1$ -sucesión, existe un entero $k$ e índices $1 \le t_1 < \ldots < t_k \le 2022$ tales que $t_{i+1} - t_i \le 2$ para todo $i$ , y $$\left| \sum_{i = 1}^{k} a_{t_i} \right| \ge C.$$ ike.chen

1 Sean $ a > b > 1, b$ un número impar, y sea $ n$ un entero positivo. Si $ b^n|a^n-1,$ entonces $ a^b > \frac {3^n}{n}.$ Fang-jh

2 Halle todos los polinomios complejos $ P(x)$ tales que, para cualesquiera tres enteros $ a,b,c$ que satisfacen $ a + b + c\not = 0, \frac{P(a) + P(b) + P(c)}{a + b + c}$ es un entero. Fang-jh

2 Los enteros positivos $ a$ y $ b$ son tales que los números $ 15a + 16b$ y $ 16a - 15b$ son ambos cuadrados de enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

3 Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ tal que $BC>CA$ . Sea $F$ el pie de la altura $CH$ del triángulo $ABC$ . La perpendicular a la recta $OF$ en el punto $F$ interseca la recta $AC$ en $P$ . Demuestre que $\measuredangle FHP=\measuredangle BAC$ .

1 Sean $a$ , $b$ , $n$ enteros positivos tales que $a,b \le n$ . Demuestre que: $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{k}{a} \binom{k}{b} \le \frac{1}{a+b+1} \binom{n}{a} \binom{n}{b}$ Nota: Cuando $m<k$ , se define que $\binom{k}{m}=0$ .